Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества – тождества, связывающие тригонометрические функции одного аргумента. Основные тригонометрические тождества следуют из определения тригонометрических функций и теоремы Пифагора:

${\displaystyle \sin ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }=1,\ \ \ \ \ \ \alpha \in (-\infty ;+\infty ),}$

${\displaystyle tg\alpha ={\frac {\sin {\alpha }}{\cos {\alpha }}},\ \ \ \ \ \ \ \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle ctg\alpha ={\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}},\ \ \ \ \ \ \ \alpha \neq \pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle tg\alpha \cdot ctg\alpha =1,\ \ \ \ \ \ \ \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{\alpha }}}=1+tg^{2}\alpha ,\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}{\alpha }}}=1+ctg^{2}\alpha ,\ \ \ \ \ \ \ \alpha \neq \pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

Формулы приведения – тождества, связывающие тригонометрические функции аргументов ${\displaystyle -\alpha ,{\frac {\pi }{2}}\pm \alpha ,\pi \pm \alpha ,{\frac {3\pi }{2}}\pm \alpha }$ с тригонометрическими функциями аргумента ${\displaystyle \alpha }$. Используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций, можно выразить тригонометрические функции любого аргумента через тригонометрические функции острого угла. Формулы приведения собраны в таблице.

Формулы приведения

${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \sin \beta }$	${\displaystyle \cos \beta }$	${\displaystyle \mathrm {tg} \,\beta }$	${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\beta }$
${\displaystyle -\alpha }$	${\displaystyle -\sin {\alpha }}$	${\displaystyle \cos {\alpha }}$	${\displaystyle -tg\ \alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {ctg} \,\alpha }$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {ctg} \,\alpha }$
${\displaystyle \pi +\alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha }$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\mathrm {tg} \,\alpha }$
	${\displaystyle \alpha \in (-\infty ,+\infty )}$	${\displaystyle \alpha \in (-\infty ,+\infty )}$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n=0,\pm 1,\pm 2,..}$.	${\displaystyle \alpha \neq \pi n,n=0,\pm 1,\pm 2,..}$.

${\displaystyle \sin {\alpha }\sin {\beta }={\frac {1}{2}}\left(\cos {(}\alpha -\beta )-\cos {(}\alpha +\beta )\right),}$

${\displaystyle \cos {\alpha }\cos {\beta }={\frac {1}{2}}\left(\cos {(}\alpha -\beta )+\cos {(}\alpha +\beta )\right),}$

${\displaystyle \sin {\alpha }\cos {\beta }={\frac {1}{2}}\left(\sin {(}\alpha -\beta )+\sin {(}\alpha +\beta )\right),}$

${\displaystyle tg\alpha tg\beta ={\frac {\cos {(}\alpha -\beta )-\cos {(}\alpha +\beta )}{\cos {(}\alpha -\beta )+\cos {(}\alpha +\beta )}},\ \ \ \ \ \ \alpha ,\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle ctg\alpha ctg\beta ={\frac {\cos {(}\alpha -\beta )+\cos {(}\alpha +\beta )}{\cos {(}\alpha -\beta )-\cos {(}\alpha +\beta )}},\ \ \ \ \ \ \alpha ,\beta \neq \pi n,\ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$.

== Формулы половинного аргумента тригонометрических функций

=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}}}

==

(знак перед корнем определяется четвертью, в которой находится аргумент ${\displaystyle \alpha /2}$),

${\displaystyle tg{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin {\alpha }}{1+\cos {\alpha }}},\ \ \ \ \alpha \neq \pi +2\pi n,\ \ \ \ \ tg{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}},\ \ \ \ \ \alpha \neq \pi n,\ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle ctg{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin {\alpha }}{1-\cos {\alpha }}},\ \ \ \ \alpha \neq 2\pi n,\ \ \ \ ctg{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1+\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}},\ \ \ \alpha \neq \pi n,\ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$.

Формулы кратных аргументов можно получить из формулы Муавра.

Универсальная тригонометрическая подстановка – выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента, применяется при решении тригонометрических уравнений и при интегрировании рациональных дробей от тригонометрических функций. При этом используют следующие формулы:

${\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {2tg(\alpha /2)}{1+tg^{2}(\alpha /2)}},\ \ \ \ \ \ \ \alpha \neq \pi +2\pi n,\ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {1-tg^{2}(\alpha /2)}{1+tg^{2}(\alpha /2)}},\ \ \ \ \ \ \alpha \neq \pi +2\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle tg\alpha ={\frac {2tg(\alpha /2)}{1-tg^{2}(\alpha /2)}},\ \ \ \ \ \alpha \neq \pi +2\pi k,\ \ \ \ \ \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\ \ \ \ \ k,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$

${\displaystyle ctg\alpha ={\frac {1-tg^{2}(\alpha /2)}{2tg(\alpha /2)}},\ \ \alpha \neq \pi n,\ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$.