Информация
Тригонометрические тождества
Научные законы, утверждения, уравненияНаучные законы, утверждения, уравнения

Тригонометрические тождества

Математика
Области знаний:
Тригонометрия
Научные законы, утверждения, уравненияНаучные законы, утверждения, уравнения

Тригонометрические тождества

Тригонометри́ческие то́ждества, соотношения между , справедливые для всех допустимых значений .

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества – тождества, связывающие тригонометрические функции одного аргумента. Основные тригонометрические тождества следуют из определения тригонометрических функций и : sin⁡2α+cos⁡2α=1,      α∈(−∞;+∞),\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,\ \ \ \ \ \ \alpha\in(-\infty;+\infty),tgα=sin⁡αcos⁡α,       α≠π2+πn,      n=0,±1,±2,…,tg\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}},\ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctgα=cos⁡αsin⁡α,       α≠πn,        n=0,±1,±2,…,ctg\alpha=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}},\ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,tgα⋅ctgα=1,       α≠πn2,         n=0,±1,±2,…,tg\alpha\cdot ctg\alpha=1,\ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi n}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,1cos⁡2α=1+tg2α,        α≠π2+πn,         n=0,±1,±2,…,\frac{1}{\cos^2{\alpha}}=1+tg^2\alpha,\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,1sin⁡2α=1+ctg2α,       α≠πn,        n=0,±1,±2,…,\frac{1}{\sin^2{\alpha}}=1+ctg^2\alpha,\ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,

Формулы приведения

Формулы приведения – тождества, связывающие тригонометрические функции аргументов −α,π2±α,π±α,3π2±α-\alpha,\frac{\pi}{2}\pm\alpha,\pi\pm\alpha,\frac{3\pi}{2}\pm\alpha с тригонометрическими функциями аргумента α\alpha . Используя формулы приведения и тригонометрических функций, можно выразить тригонометрические функции любого аргумента через тригонометрические функции острого . Формулы приведения собраны в таблице.

Формулы приведения

β\beta

sin⁡β \sin \beta

cos⁡β \cos \beta

tg β \mathrm{tg}\, \beta

ctg β \mathrm{ctg}\, \beta

−α- \alpha

−sin⁡α-\sin{\alpha}

cos⁡α\cos{\alpha}

−tg α-tg\ \alpha

−ctg α- \mathrm{ctg}\, \alpha

π2−α\frac{\pi}{2}-\alpha

cos⁡α \cos \alpha

sin⁡α \sin \alpha

ctg α \mathrm{ctg}\, \alpha

tg α \mathrm{tg}\, \alpha

π2+α\frac{\pi}{2}+\alpha

cos⁡α \cos \alpha

−sin⁡α- \sin \alpha

−ctg α- \mathrm{ctg}\, \alpha

−tg α- \mathrm{tg}\, \alpha

π−α\pi-\alpha

sin⁡α \sin \alpha

−cos⁡α- \cos \alpha

−tg α- \mathrm{tg}\, \alpha

−ctg α- \mathrm{ctg}\, \alpha

π+α\pi+\alpha

−sin⁡α- \sin \alpha

−cos⁡α- \cos \alpha

tg α \mathrm{tg}\, \alpha

ctg α \mathrm{ctg}\, \alpha

3π2−α\frac{3\pi}{2}-\alpha

−cos⁡α- \cos \alpha

−sin⁡α- \sin \alpha

ctg α \mathrm{ctg}\, \alpha

tg α \mathrm{tg}\, \alpha

3π2+α\frac{3\pi}{2}+\alpha

−cos⁡α- \cos \alpha

sin⁡α \sin \alpha

−ctg α- \mathrm{ctg}\, \alpha

−tg α- \mathrm{tg}\, \alpha

α∈(−∞,+∞)\alpha\in(-\infty,+\infty)

α∈(−∞,+∞)\alpha\in(-\infty,+\infty)

α≠π2+πn,n=0,±1,±2,...\alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,n=0,\pm1,\pm2,...

α≠πn,n=0,±1,±2,...\alpha\neq\pi n,n=0,\pm1,\pm2,...

Формулы суммы и разности аргументов тригонометрических функций 

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,\sin{(}\alpha+\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta},sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β,\sin{(}\alpha-\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta},cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,\cos{(}\alpha+\beta)=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta},cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β,\cos{(}\alpha-\beta)=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta},tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgαtgβ,        α,β,α+β≠π2+πn,         n=0,±1,±2,…,tg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{tg \alpha +tg\beta}{1-tg \alpha tg\beta},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha,\beta,\alpha+\beta\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots ,tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgαtgβ,        α,β,α−β≠π2+πn,        n=0,±1,±2,…,tg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha tg\beta},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha,\beta,\alpha-\beta\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctg(α+β)=ctgαctgβ−1ctgα+ctgβ,     α,β,α+β≠πn,       n=0,±1,±2,…,ctg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{ctg\alpha ctg\beta-1}{ctg\alpha+ctg\beta},\ \ \ \ \ \alpha,\beta,\alpha+\beta\neq\pi n,\ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctg(α−β)=ctgα ctgβ+1ctgβ−ctgα,  α,β,α+β≠πn,  n=0,±1,±2,….ctg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{ctg\alpha\ ctg\beta+1}{ctg\beta-ctg\alpha},\ \ \alpha,\beta,\alpha+\beta\neq\pi n,\ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots .

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}},sin⁡α−sin⁡β=2sin⁡α−β2cos⁡α+β2,\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}},cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2,\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}},cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2,\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}},tgα+tgβ=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β,        α,β≠π2+πn,         n=0,±1,±2,…,tg\alpha+tg\beta=\frac{\sin{(}\alpha+\beta)}{\cos{\alpha}\cos{\beta}},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha,\beta\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,tgα−tgβ=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡β,      α,β≠π2+πn,        n=0,±1,±2,…,tg\alpha-tg\beta=\frac{\sin{(}\alpha-\beta)}{\cos{\alpha}\cos{\beta}},\ \ \ \ \ \ \alpha,\beta\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctgα+ctgβ=sin⁡(α+β)sin⁡αsin⁡β,      α,β≠πn,       n=0,±1,±2,…,ctg\alpha+ctg\beta=\frac{\sin{(}\alpha+\beta)}{\sin{\alpha}\sin{\beta}},\ \ \ \ \ \ \alpha,\beta\neq\pi n,\ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctgα−ctgβ=−sin⁡(α−β)sin⁡αsin⁡β,       α,β≠πn,      n=0,±1,±2,….ctg\alpha-ctg\beta=-\frac{\sin{(}\alpha-\beta)}{\sin{\alpha}\sin{\beta}},\ \ \ \ \ \ \ \alpha,\beta\neq\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots.

Преобразование произведения тригонометрических функций

sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)),\sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\left(\cos{(}\alpha-\beta)-\cos{(}\alpha+\beta)\right),cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\left(\cos{(}\alpha-\beta)+\cos{(}\alpha+\beta)\right),sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)),\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\left(\sin{(}\alpha-\beta)+\sin{(}\alpha+\beta)\right),tgαtgβ=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β),      α,β≠π2+πn,      n=0,±1,±2,…,tg\alpha tg\beta=\frac{\cos{(}\alpha-\beta)-\cos{(}\alpha+\beta)}{\cos{(}\alpha-\beta)+\cos{(}\alpha+\beta)},\ \ \ \ \ \ \alpha,\beta\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctgαctgβ=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β),      α,β≠πn,     n=0,±1,±2,….ctg\alpha ctg\beta=\frac{\cos{(}\alpha-\beta)+\cos{(}\alpha+\beta)}{\cos{(}\alpha-\beta)-\cos{(}\alpha+\beta)},\ \ \ \ \ \ \alpha,\beta\neq\pi n,\ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots.

Формулы половинного аргумента тригонометрических функцийsin⁡α2=±1−cos⁡α2,         cos⁡α2=±1+cos⁡α2\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}

(знак перед корнем определяется четвертью, в которой находится аргумент α/2 \alpha /2),

tgα2=sin⁡α1+cos⁡α,    α≠π+2πn,     tgα2=1−cos⁡αsin⁡α,     α≠πn,     n=0,±1,±2,…,tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}},\ \ \ \ \alpha\neq\pi+2\pi n,\ \ \ \ \ tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}},\ \ \ \ \ \alpha\neq\pi n,\ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctgα2=sin⁡α1−cos⁡α,    α≠2πn,    ctgα2=1+cos⁡αsin⁡α,   α≠πn,    n=0,±1,±2,….ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin{\alpha}}{1-\cos{\alpha}},\ \ \ \ \alpha\neq2\pi n,\ \ \ \ ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}},\ \ \ \alpha\neq\pi n,\ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots.Формулы кратных аргументов можно получить из .

 

Формулы двойного аргумента тригонометрических функций

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,\sin{2}\alpha=2\sin{\alpha}\cos{\alpha},cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α,\cos{2}\alpha=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1=1-2\sin^2{\alpha},tg2α=2tgα1−tg2α,      α≠π4+π2k,    α≠π2+πn,       k,n=0,±1,±2,…,tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha},\ \ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ \ \ k,n=0,\pm1,\pm2,\ldots,tg2α=2ctgα−tgα,     α≠π4+π2k,    α≠π2+πl,    α≠πn,      k,l,n=0,±1,±2,…,tg2\alpha=\frac{2}{ctg\alpha-tg\alpha},\ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi l,\ \ \ \ \alpha\neq\pi n,\ \ \ \ \ \ k,l,n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctg2α=ctg2α−12ctgα=ctgα−tgα2,       α≠π2+πk,  α≠πn,  k, n=0,±1,±2,….ctg2\alpha=\frac{ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}=\frac{ctg\alpha-tg\alpha}{2},\ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \ \alpha\neq\pi n,\ \ k,\ n=0,\pm1,\pm2,\ldots. 

Формулы тройного аргумента тригонометрических функций

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α,\sin{3}\alpha=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha},cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α,\cos{3}\alpha=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha},tg3α=3tgα−tg3α1−3tg2α,      α≠π6+π3n,     n=0,±1,±2,…,tg3\alpha=\frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha},\ \ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}n,\ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctg3α=3ctgα−ctg3α1−3ctg2α,  α≠π3n,  n=0,±1,±2,….ctg3\alpha=\frac{3ctg\alpha-ctg^3\alpha}{1-3ctg^2\alpha},\ \ \alpha\neq\frac{\pi}{3}n,\ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка – выражение тригонометрических функций через половинного аргумента, применяется при решении и при от тригонометрических функций. При этом используют следующие формулы:

sin⁡α=2tg(α/2)1+tg2(α/2),       α≠π+2πn,       n=0,±1,±2,…,\sin{\alpha}=\frac{2tg(\alpha/2)}{1+tg^2(\alpha/2)},\ \ \ \ \ \ \ \alpha\neq\pi+2\pi n,\ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,cos⁡α=1−tg2(α/2)1+tg2(α/2),      α≠π+2πn,      n=0,±1,±2,…,\cos{\alpha}=\frac{1-tg^2(\alpha/2)}{1+tg^2(\alpha/2)},\ \ \ \ \ \ \alpha\neq\pi+2\pi n,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots,tgα=2tg(α/2)1−tg2(α/2),     α≠π+2πk,     α≠π2+πn,     k,n=0,±1,±2,…,tg\alpha=\frac{2tg(\alpha/2)}{1-tg^2(\alpha/2)},\ \ \ \ \ \alpha\neq\pi+2\pi k,\ \ \ \ \ \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ \ k,n=0,\pm1,\pm2,\ldots,ctgα=1−tg2(α/2)2tg(α/2),  α≠πn,  n=0,±1,±2,….ctg\alpha=\frac{1-tg^2(\alpha/2)}{2tg(\alpha/2)},\ \ \alpha\neq\pi n,\ \ n=0,\pm1,\pm2,\ldots.

Опубликовано  Последнее обновление 27 мая 2024 г. в 17:22 (GMT+3).
#Тригонометрические функции
  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.