Тест Чо́у (англ. Chow Test), тест (точнее, пара тестов) на наличие структурного сдвига в выборке данных регрессии.

В статье Грегори Чоу (Чау Чичон; род. 1930) «Tests of equality between sets of coefficients in two linear regressions», опубликованной в 1960 г., рассматривалась следующая задача. Пусть имеется $n$ наблюдений, соответствующих классической линейной модели множественной регрессии с $p$ нестохастическими объясняющими переменными: $y_i=θ_1 x_{i1}+⋯+θ_p x_{ip}+ε_i, \ i=1,…,n, \ n>p,$ в которой случайная ошибка имеет дисперсию $σ^2>0$. Пусть имеется также $m$ дополнительных наблюдений, и вопрос состоит в том, соответствуют ли эти дополнительные наблюдения той же самой модели регрессии.

Один из тестов Чоу – тест на качество прогноза (англ. Chow forecast test) – сравнивает качество прогнозов, сделанных на основе оценивания модели на одной части наблюдений для значений объясняемой переменной на другой части наблюдений, с качеством прогнозов, сделанных на основе оценивания модели на всём множестве наблюдений.

Оценив коэффициенты модели по всем $n+m$ наблюдениям, можно получить прогнозные значения $\widehat{y}_i (n+m), \ i=n+1,…,n+m$.

Оценив коэффициенты модели при использовании только первых $n$ наблюдений, можно получить прогнозные значения $\widehat{y} _i (n), \ i=n+1,…,n+m.$

Если модель стабильна, то значения $\widehat{y} _i (n)$ не должны слишком сильно отличаться от значений $\widehat{y} _i (n+m), \ i=n+1,…,n+m$. Степень различия измеряет статистика:

$F= \frac{(RSS_{n+m}-RSS_n)/m}{RSS_n/(n-p)} ,$

где $RSS_{n+m}$ – сумма квадратов остатков, полученных при оценивании модели по всем наблюдениям; $RSS_n$ – сумма квадратов остатков, полученных при оценивании модели по первым $n$ наблюдениям.

Если модель стабильна, то указанная статистика имеет $F$-распределение $F(m,n-p)$. Гипотеза стабильности отвергается, если наблюдаемое значение этой статистики превышает критическое значение $F_{1-α} (m,n-p)$, где $α$ – уровень значимости теста.

Второй тест Чоу – тест на структурный сдвиг (англ. Chow breakpoint test) – основан на проверке гипотезы о сохранении значений всех коэффициентов при переходе от одного множества наблюдений к другому. В этом случае строится расширенная модель для всех $n+m$ наблюдений, в которой объясняющие переменные разделяются на две части, а затем проверяется гипотеза о возможности их объединения в одну.

Пусть $(D1)_i$ – бинарная (дамми-) переменная, равная $1$ для $i=1,…,n$ и равная $0$ для $i=n+1,…,n+m$; $(D2)_i=1-(D1)_i$ – бинарная переменная, равная $0$ для $i=1,…,n$ и равная $1$ для $i=n+1,…,n+m$. Тогда $j$-я объясняющая переменная разделяется на две переменные: $x_{ij}=x_{ij}^{(1)}+x_{ij}^{(2)}$, где $x_{ij}^{(1)}=x_{ij}⋅(D1)_i, \ x_{ij}^{(2)}=x_{ij}⋅(D2)_i$, и эти переменные входят в расширенную модель с разными коэффициентами, так что расширенная модель принимает вид:

$y_i=γ_1 x_{i1}^{(1)}+γ_2 x_{i1}^{(2)}+γ_3 x_{i2}^{(1)}+γ_4 x_{i2}^{(2)}+⋯+γ_{2p-1} x_{ip}^{(1)}+γ_{2p} x_{ip}^{(2)}+ε_i, \ i=1,…,n+m.$

На первом множестве наблюдений обращаются в нуль переменные $x_{ij}^{(2)}$, на втором множестве обращаются в нуль переменные $x_{ij}^{(1)}$.

Гипотеза стабильности модели формулируется в рамках расширенной модели как линейная гипотеза $H_0: γ_1=γ_2, γ_3=γ_4,…,γ_{2p-1}=γ_{2p}$. Для её проверки используется обычный F-критерий. Если гипотеза стабильности отвергается, то можно получить модель, которая называется двухфазной линейной регрессией или линейной моделью с переключением режимов. В рамках расширенной модели можно также проверять гипотезы о совпадении коэффициентов лишь для некоторых объясняющих переменных.

Существенным недостатком теста Чоу является предположение о нестохастическом характере регрессоров, что ограничивает его применение для анализа структурных сдвигов в динамических моделях. Кроме того, дата структурного сдвига может быть неизвестной, и тогда её приходится находить на основе имеющейся выборки, а это влияет на распределение статистики теста. Обзор исследований в этом направлении представлен в статье «Structural breaks in time series» (Casini. 2018).