Теоре́мы Чебышёва о просты́х чи́слах, теоремы 1)–8) о распределении простых чисел, доказанные П. Л. Чебышёвым (Чебышёв. 1944) в 1848–1850 гг.
Пусть π(x) – число простых чисел, не превосходящих x, m – целое ⩾0, p – простое число, lnu – натуральный логарифм u, li x=∫2xlntdt=lnxx+ln2xx+…+lnnx(n−1)!x+O(lnn+1xx).(*)1) Для любого m сумма рядаn=2∑∞(π(n)−π(n−1)−lnn1)nslnmnимеет конечный предел при s→1+.
2) Как бы ни было мало a>0, a m велико, функция π(x) бесконечное число раз удовлетворяет каждому из неравенств:π(x)> li x−axln−mx,π(x)<lix+axln−mx.3) Частное π(x)lnx/x при x→∞ не может иметь предела, отличного от 1 .
4) Если функция π(x) может быть выражена до количества порядка xln−nx включительно алгебраически в x, lnx, ex, то таким выражением является выражение (*).
После этого П. Л. Чебышёв ввёл две новые функции распределения простых чисел θ(x) и ψ(x) – функции Чебышёваθ(x)=p⩽x∑lnp,ψ(x)=pm⩽x∑lnpи установил фактический порядок роста этих функций. Отсюда впервые им получен фактический порядок роста числа простых чисел π(x) и n-го простого числа Pn. Точнее, он доказал:
5) Для x>1 при A=ln21/231/351/5/301/30 имеют место неравенстваψ(x)>Ax−25lnx−1,ψ(x)<56Ax+4ln65ln2x+45lnx+1.6) Для x, начиная с некоторого x0, имеют место неравенства0,9212…<xπ(x)lnx<1,1055…7) Существуют постоянные a>0, A>0 такие, что n-е простое число Pn, для всех n=1,2,… удовлетворяет неравенствамanlnn<Pn<Anlnn.8) В интервале (a,2a−2) при a>3 лежит, по крайней мере, одно простое число (постулат Бертрана).
Главная идея метода доказательства 1)–4) состоит в изучении поведения величинn=2∑∞n1+s1−s1,lns−∑ln(1−p1+s1),p∑ln(1−p1+s1)+p∑p1+s1и их производных при s→0+. В основе метода вывода 5)–8) лежит тождество Чебышёва:ln[x]!=n⩽x∑ψ(nx).
Лаврик Александр Фёдорович. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1985.