Теоре́ма непреры́вности для голомо́рфных фу́нкций (принцип непрерывности), пусть $G$ – область голоморфности в $\mathbb{C}^n$, $n \geqslant 2$, и $S_k \Subset G$ и $T_k \Subset G$, $k=1,2, \ldots$, – любые последовательности множеств, для которых имеет место принцип максимума относительно модулей функции $f$, голоморфной в $G$, т. е.

$$|f(z)|\leqslant \max _{z \in T_k}|f(z)|, \quad z \in S_k,\quad k=1,2, \ldots;$$тогда если $S_k$ сходятся к некоторому ограниченному множеству $S$, а $T_k$ – к множеству $T$ и $T \Subset S$, то $S \Subset G$. Если в качестве $S_k$ взять аналитические гиперповерхности и в качестве $T_k$ – их границы $\partial S_k$, то получают теорему Беенке – Зоммера (см. Behnke. 1934). Отсюда следует, что всякая область голоморфности псевдовыпукла. Применительно к конкретной функции некоторые модификации теоремы непрерывности известны как теоремы о «диске». Например, т. н. сильная теорема о «диске» утверждает следующее. Пусть в $\mathbb{C}^{n-1}$ задана жорданова кривая вида

$$\tilde{z}(t)=\tilde{z}_0+\tilde{b} \lambda(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant 1,\quad \tilde{b} \in \mathbb{C}^{n-1},\quad \tilde{z}=\left(z_2, \ldots, z_n\right).$$Пусть $D(t)$, $0 \leqslant t \leqslant 1$, – семейство областей в плоскости $z_1$, обладающее тем свойством, что для любого компакта $K \subset D(0)$ найдётся число $\eta=\eta(K)$, для которого $K \subset D(t)$ при всех $0 \leqslant t<\eta$. Тогда если $f(z)$ голоморфна в точках «дисков»

$$\left[z=\left(z_1, \tilde{z}\right): z_1 \in D(t),\,\, \tilde{z}=\tilde{z}(t),\,\, 0<t \leqslant 1\right]$$и в одной точке предельного «диска»

$$\left[z=\left(z_1, \tilde{z}\right): z_1 \in D(0),\,\, \tilde{z}=\tilde{z}(0)\right],$$то $f(z)$ голоморфна и во всех точках предельного «диска». Теоремы о «диске» весьма полезны при голоморфном расширении областей и при построении оболочек голоморфности, например при доказательстве теоремы Бохнера об оболочке голоморфности трубчатой области, при доказательстве теорем Осгуда – Брауна, «о вложенном ребре», «об острие клина», «о $C$-выпуклой оболочке» и др.