Симметри́ческий многочле́н, многочлен $f$ с коэффициентами из некоторого поля или ассоциативно-коммутативного кольца $K$ с единицей, являющийся симметрической функцией от своих переменных, т. е. инвариантный при любых подстановках переменных:

$$\tag{*} f(x_1,\ldots,x_n)=f(\pi(x_1),\ldots,\pi(x_n)).$$Симметрические многочлены образуют алгебру $S(x_1,\ldots,x_n)$ над $K$.

Важнейшие примеры симметрических многочленов – элементарные симметрические многочлены

$$s_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots <i_k\leqslant n}x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k}$$и степенные суммы, т. е. многочлены

$$p_k(x_1,\ldots,x_n)=x_1^k+x_2^k+\ldots +x_n^k.$$Для выражения степенных сумм $p_k(x_1,\ldots,x_n)$ в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов имеются рекуррентные формулы, называемые формулами Ньютона:

$$\begin{gathered} p_k-p_{k-1}s_1+p_{k-2}s_2+\ldots\\ \ldots+(-1)^{k-1}p_1s_{k-1}+(-1)^{k}ks_{k}=0\quad \text{ при }1\leqslant k\leqslant n;\\ p_k-p_{k-1}s_1+p_{k-2}s_2+\ldots\\ \ldots+(-1)^{n-1}p_{k-n+1}s_{n-1}+(-1)^{n}p_{k-n}s_{n}=0\quad \text{ при }k>n. \end{gathered}$$Элементарные симметрические многочлены от корней произвольного многочлена одной переменной со старшим коэффициентом $1$ с точностью до знака совпадают с остальными коэффициентами этого многочлена (см. Теорема Виета).

Основная теорема о симметрических многочленах: каждый cимметрический многочлен является многочленом от элементарных cимметрических многочленов, причём представи́м в этом виде единственным образом. Другими словами, элементарные симметрические многочлены являются свободной системой образующих алгебры $S(x_1,\ldots,x_n)$. Если поле имеет характеристику $0$, то многочлены $p_1,\ldots,p_n$ также являются системой свободных образующих алгебры $S(x_1,\ldots,x_n)$.

Кососимметрическим, или знакопеременным, многочленом называется многочлен $f(x_1,\ldots,x_n)$, удовлетворяющий соотношению (*), если подстановка $\pi$ чётная, и соотношению

$$f(x_1,\ldots,x_n)=-f(\pi(x_1),\ldots,\pi(x_n)),$$если $\pi$ нечётная. Любой кососимметрический многочлен представим в виде $\Delta_ng$, где $g$ есть симметрический многочлен, а

$$\Delta_n=\prod_{i<j}(x_i-x_j).$$Это представление не однозначно, поскольку имеется соотношение $\Delta_n^2=\mathrm{Dis}(s_1,\ldots,s_n)$.