Ранг лине́йного обыкнове́нного дифференциа́льного уравне́ния в комплексной области$$\sum_{j=0}^n P_j(z) w^{(n-j)}=0,\quad P_0(z)=1,\tag{1}$$– число $r=k+1$, где$$k = \underset{1\le j\le n}{\operatorname{max}} n_j/j.$$Коэффициенты уравнения (1) – сходящиеся при больших $|z|$ ряды$$P_j(z) = \sum_{m=-\infty}^{n_j} p_{jm}z^{-m},\quad j=1,\dots, n.$$Понятие ранга употребляется только тогда, когда $z=\infty$ – особая точка дифференциального уравнения (1). Ранг дифференциального уравнения называют также рангом особой точки $z=\infty$. Если эта точка – регулярная особая точка, то $r=0$; если иррегулярная особая точка, то $r>0$. Число $k$ называется подрангом. Ранг уравнения – целое или дробное число. Если подранг дробный, со знаменателем $q\ge 2$, то подранг уравнения, полученного из (1) заменой переменной $z=\zeta^{1/q}$, будет целым. Ранг уравнения инвариантен относительно замены переменной вида $z=\zeta\varphi(\zeta)$, где функция $\varphi(\zeta)$ голоморфна и отлична от нуля в точке $\zeta=\infty$.

Понятие ранга уравнения и особой точки используется при исследовании структуры решений уравнения (1) на бесконечности. Пусть $Q(z)$ – многочлен степени $p$, $$\psi(\zeta)=\sum_{m=0}^\infty \psi_m\zeta^{-m}$$– формальный ряд, $s\ge 1$ – целое число. Ряд$$w = e^{Q\big(z^{1/s}\big)} z^\rho \Psi\big(z^{1/s}\big) \tag{2}$$называется нормальным (соответственно поднормальным) порядка $p/s$, если $s=1$ (соответственно $s\ge 2$). Решение уравнения (1), представимое сходящимся в окрестности точки $z=\infty$ нормальным (поднормальным) рядом, называется нормальным (поднормальным) решением того же порядка (см. Айнc. 1939; Латышева. 1974).

Порядок нормального (поднормального) решения не превосходит ранга уравнения; это верно и для формальных решений вида (2). Если ранг $r$ уравнения (1) целый, то оно имеет по крайней мере одно формальное решение вида (2) порядка $r$. Подстановка $w(z) = e^{Q(z)}u(z)$ не меняет ранг уравнения. Если подранг $k=p/q$, где $p$, $q$ – взаимно простые целые числа и $q \ge 2$, то уравнение имеет не менее $q$ формальных решений вида (2) порядка $r$.

Уравнением Гамбургера называется уравнение (1) с рациональными коэффициентами, если оно имеет ровно две особые точки: регулярную $z=0$ и иррегулярную $z=\infty$. Для уравнения Гамбургера получены достаточные условия, при которых оно имеет нормальные решения, а при $n=2$ – необходимые и достаточные условия существования нормальных и поднормальных решений (см. Айнc. 1939).

Понятие ранга вводится и в том случае, когда уравнение (1) имеет конечную особую точку (см. Айнc. 1939, Латышева. 1974).

В случае линейной системы из $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области$$w'=z^r A(z)w,\tag{3}$$где $r\ge -1$ – целое число, матрица-функция $A(z)$ голоморфна в точке $z=\infty$ и $A(\infty)\ne 0$, число $r+1$ называется рангом системы (3), или рангом особой точки $z=\infty$, число $r$ – её подрангом (см. Коддингтон. 1958; Камке. 1976; Вазов. 1968). Если $r=-1$, то точка $z=\infty$ – регулярная особая точка; в отличие от скалярного уравнения (1), точка $z=\infty$ может быть регулярной особой, если $r>-1$ (см. Коддингтон. 1958).