Проце́сс скользя́щего сре́днего, стационарный в широком смысле случайный процесс, который может быть получен с помощью применения некоторого линейного преобразования к процессу с некоррелированными значениями (т. е. к процессу белого шума). Часто процессом скользящего среднего называется также более частный процесс $X(t)$ с дискретным временем $t=0, \pm 1,\ldots$, представимый в виде

$$X(t)=Y(t)+b_1Y(t-1)+\ldots+b_qY(t-q), \tag{1}$$где математические ожидания $\mathsf{E}Y(t)=0$, $\mathsf{E}Y(t)Y(s)=\sigma^2\delta_{ts}$, $\delta_{ts}$ – символ Кронекера [так что $Y(t)$ – процесс белого шума со спектральной плотностью $\sigma^2/2\pi$], $q$ – некоторое целое положительное число, а $b_1,\ldots,b_q$ – постоянные коэффициенты. Спектральная плотность $f(\lambda)$ такого процесса скользящего среднего определяется формулой

$$f(\lambda)=(\sigma^2/2\pi) |\psi(e^{i\lambda})|^2,$$$$\psi(z)=t_0+b_1z+\ldots+b_qz^q,\ \ \ \ \; b_0=1,$$а его корреляционная функция $r(k)=\mathsf{E}X(t)X(t-k)$ имеет вид

$$r(k)=\sigma^2\sum_{j=0}^{q-|k|} b_jb_{j+|k|} \ \text{ при } \ |k|\leqslant q,$$$$r(k)=0 \ \ \text{ при } \ |k|>q.$$Верно и обратное, если корреляционная функция $r(k)$ стационарного процесса $X(t)$ с дискретным временем $t$ обладает тем свойством, что $r(k)=0$ при $|k|>q$ для какого–то целого положительного $q$, то $X(t)$ – это процесс скользящего среднего порядка $q$, т. е. он допускает представление вида (1), где $Y(t)$ – белый шум.

Наряду с процессами скользящего среднего конечного порядка $q$, представимыми в виде (1), существуют также два типа процессов скользящего среднего с дискретным временем бесконечного порядка, а именно: односторонние процессы скользящего среднего, допускающие представление вида

$$X(t)=\sum_{j=0}^\infty b_jY(t-j), \tag{2}$$где $Y(t)$ – белый шум, а ряд в правой части (2) сходится в среднем квадратичном (и, значит, $\sum_{j=0}^\infty|b_j|^2<\infty$), и более общие двусторонние процессы скользящего среднего, представимые в виде

$$X(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty b_jY(t-j), \tag{3}$$где $Y(t)$ – белый шум, а $\sum_{j=-\infty}^\infty|b_j|^2<\infty$. Класс двусторонних процессов скользящего среднего совпадает с классом стационарных процессов $X(t)$, имеющих спектральную плотность $f(\lambda)$, а класс односторонних процессов скользящего среднего – с классом процессов, имеющих спектральную плотность $f(\lambda)$ такую, что

$$\int_{-\pi}^\pi \log f(\lambda) \, d\lambda >-\infty.$$Односторонним процессом скользящего среднего с непрерывным временем называется стационарный процесс $X(t)$, $-\infty <t <\infty$, представимый в виде

$$X(t)=\int_0^\infty b(s) \,dY(t-s), \ \ \ \; \int_0^\infty|b(s)|^2 \, ds<\infty,$$а двусторонним – в виде

$$X(t)=\int_{-\infty}^\infty b(s) \,dY(t-s),\ \ \ \; \int_{-\infty}^\infty|b(s)|^2 \, ds<\infty,$$где $\mathsf{E}[dY(t)]^2=\sigma^2dt$, т. е. $Y^\prime(t)$ – обобщённый процесс белого шума. Класс двусторонних процессов скользящего среднего с непрерывным временем совпадает с классом стационарных процессов $X(t)$, имеющих спектральную плотность $f(\lambda)$, а класс односторонних процессов скользящего среднего с непрерывным временем – с классом процессов, имеющих такую спектральную плотность $f(\lambda)$, что

$$\int_{-\infty}^\infty\log f(\lambda)(1+\lambda^2)^{-1} \, d\lambda>-\infty.$$