Пробле́мы Стекло́ва в теории ортогональных многочленов, задачи, в которых асимптотические свойства ортогональных многочленов рассматриваются в зависимости от свойств и, в частности, от особенностей весовой функции и контура ортогональности.

При изучении многочленов $\left\{P_n(x)\right\}$, ортонормированных на сегменте $[-1,1]$ с весом$$\tag{1}h(x)=\frac{h_0(x)}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in(-1,1),$$возникает вопрос об условиях ограниченности последовательности $\left\{P_n(x)\right\}$ в отдельной точке либо на некотором множестве $A \subset[-1,1]$, либо на всём сегменте ортогональности. Этот вопрос важен потому, что при ограниченности последовательности $\left\{P_n(x)\right\}$ на ряды Фурье по ортогональным многочленам переносятся некоторые свойства тригонометрических рядов Фурье.

В. А. Стеклов высказал предположение, что для выполнения неравенства$$\tag{2}\left|P_n(x)\right| \leqslant C_1,\quad x \in A \subset[-1,1],$$необходимо и достаточно выполнение условия$$\tag{3}h_0(x) \geqslant C_2>0,\quad x \in A \subset[-1,1].$$Значение функции $h_0(t)$ в точке $x$, где рассматриваются неравенства (2) и (3), должно быть связано со значениями этой функции в точках, близких к $x$, и задача заключается в том, чтобы вывести (2) из (3) при минимальных ограничениях на функцию $h_0(t)$ в окрестности точки $x$ (первая задача Стеклова). Имеются (Геронимус. 1958; Суетин. 1977) различные локальные и глобальные условия, при которых из (3) следует (2). В частности, если в (1) функция $h_0(x)$ положительна, непрерывна и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, то для многочленов $\left\{P_n(x)\right\}$ имеет место асимптотическая формула, из которой следует неравенство (2) при $A=[-1,1]$.

Кроме того, Стеклов рассмотрел случаи алгебраических нулей весовой функции и установил ряд результатов, послуживших началом двух направлений исследований. Одно из них характеризуется т. н. глобальными, или равномерными, оценками роста ортонормированных многочленов, которые получаются при довольно общих условиях на весовую функцию (вторая задача Стеклова). Например (Геронимус. 1958. С. 177), если неравенство (3) выполняется на всём сегменте $[-1,1]$, то существует такая последовательность $\left\{\varepsilon_n\right\}$, $\varepsilon_n>0$, $\varepsilon_n \rightarrow 0$, что имеет место неравенство$$\left|P_n(x)\right| \leqslant \varepsilon_n \sqrt{n}, \quad x \in[-1,1].$$Третья задача Стеклова состоит в исследовании асимптотических свойств ортогональных многочленов при гладких особенностях весовой функции. К этому направлению можно отнести асимптотические свойства многочленов Якоби, весовая функция которых имеет особенности на концах сегмента ортогональности, с чем связано различие асимптотических свойств многочленов Якоби внутри интервала $(-1,1)$ и на его концах. Отличие результатов последнего направления от глобальных оценок ортогональных многочленов состоит в том, что в этом случае весовая функция может обращаться в отдельных точках в нуль или бесконечность определённого порядка и удовлетворяет некоторым условиям гладкости. При этом асимптотические формулы и оценки для ортогональных многочленов устанавливаются отдельно в особых точках весовой функции (нули, полюса, концы сегмента ортогональности) и на остальной части сегмента ортогональности.

Формулировки и особенно доказательства по всем вышеперечисленным вопросам наиболее естественны в случае многочленов, ортогональных на окружности, ибо в этом случае можно применять многие результаты о приближении периодических функций тригонометрическими полиномами.