При́знак Га́усса, признак сходимости числовых рядов

$$\sum_{n=1}^\infty a_n$$с положительными членами. Если отношение $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ представимо в виде

$$\tag{*}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac{\alpha}{n}+\frac{\gamma_n}{n^\beta}\,,$$где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные числа, $\beta>1$, а $\{\gamma_n\}$ – ограниченная последовательность, то ряд сходится при $\alpha>1$ и расходится при $\alpha\leqslant 1$. Для того чтобы имело место представление (*), необходимо (но не достаточно), чтобы существовал конечный предел

$$\alpha =\lim_{n\to \infty}n\ln \frac{a_n}{a_{n+1}}$$или

$$\lim_{n\to \infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right).$$Признак Гаусса – один из первых по времени (1812) общих признаков сходимости числовых рядов. К. Ф. Гаусс применял свой признак для исследования сходимости гипергеометрического ряда. Признак Гаусса представляет собой простейший частный случай одного из логарифмических признаков сходимости.