Фо́рмула Планшере́ля, формула, выражающая инвариантность скалярного произведения при преобразовании Фурье в пространстве $L_{2}(X)$:

$$\int_{Y} \hat{f}_{1}(y) \overline{\hat f_{2}(y)}\,d \mu(y)=\int_{X} f_{1}(x) \overline{f_{2}(x)}\, d \mu(x).$$В классическом случае, когда $X=Y=\mathbb{R}^{n}$ есть $n$-мерное евклидово пространство, $\mu(x)$ и $\mu(y)$ суть $n$-мерные меры Лебега, преобразование Фурье

$$f(x) \mapsto \hat{f}(y)$$на пространстве$L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \ni f$ является непрерывным продолжением классического преобразования Фурье

$$\begin{gathered} g(x) \longmapsto \hat{g}(y)=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2}} \int_{R^{n}} g(x) e^{i(x, y)}\,d x, \\ g \in L_{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right), \quad x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),\quad y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \end{gathered}$$$(x, y)$ – скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n}$, с множества $L_{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \cap L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ на пространство $L_{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$.

Формула Планшереля справедлива также, когда $X$ – локально компактная коммутативная топологическая группа, $Y$ – её группа характеров, $x \in X$, $y \in Y$, $\mu(x)$ и $\mu(y)$ – соответствующим образом нормированные инвариантные меры в группах $X$ и $Y$, a преобразование Фурье $f(x) \mapsto\hat{f}(y)$ на пространстве $L_{2}(X) \ni f$ является непрерывным продолжением отображения

$$\begin{gathered} g(x) \longmapsto \hat{g}(y)=\int_{X} g(x) y(x)\,d \mu(x), \\ g(x) \in L_{1}(X),\quad y(x) \in Y, \end{gathered}$$c множества $L_{1}(X) \cap L_{2}(X)$ на пространство $L_{2}(X)$.

Формула Планшереля обобщается на некоммутативные топологические группы. Пусть, например, $G$ – бикомпактная группа, $\mu$ – инвариантная мера на ней, $\mu(G)=1$, $g \mapsto U_{g}^{(\alpha)}$ – неприводимое конечномерное унитарное представление размерности $n_{\alpha}$ группы $G$ в гильбертовом пространстве, $g \in G$, $\alpha=1,2, \ldots$, $x(g)\in L_{2}(G)$,

$$T_{x}^{(\alpha)}\stackrel{\text{def}}{=} \int_{G} x(g) U_{E}^{(\alpha) *}\, d \mu(g)$$(* — переход к сопряжённому оператору), $S\left(T_{x}^{(\alpha)} T_{x}^{(\alpha) *}\right)$ – след оператора $T_{x}^{(\alpha)} T_{x}^{(\alpha)^{*}}$. Тогда обобщённая формула Планшереля имеет вид

$$\displaystyle\int_{G}|x(g)|^{2}\,d \mu(g)=\sum_{\alpha} n_{\alpha S}\left(T_{x}^{(\alpha)} T_{x}^{(\alpha)^{*}}\right).$$