Нера́венства Хаусдо́рфа – Ю́нга, оценки коэффициентов Фурье функций из $L_{p}$; установлены У. Юнгом (1913) и Ф. Хаусдорфом (1923). Пусть $\varphi_{n}(t)$ – ортонормированная система функций на $[a,b]$, $|\varphi_{n}(t)|\leqslant M$ для вcex $t\in[a, b]$ и всех $n=1,2,\ldots$ и $1\leqslant p\leqslant 2$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. Если $f\in L_{p}$, то

$$\displaystyle\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}(f)\right|^{p^{\prime}}\right)^{1 / p^{\prime}} \leqslant M^{\frac{2-p}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(t)|^{p} d t\right)^{1 / p},\tag{1}$$где $c_{n}(f)$ – коэффициенты Фурье функции $f$. Если $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty$, то существует такая функция $g\in L_{p'}$ с коэффициентами Фурье $a_n$, что

$$\left(\int_{a}^{b}|g(t)|^{p^{\prime}} d t\right)^{1 / p^{\prime}} \leqslant M^{\frac{2-p}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}.\tag{2}$$B качестве $g(t)$ можно взять $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\varphi_{n}(t)$, причём этот ряд сходится в $L_{p'}$.

Неравенства Хаусдорфа – Юнга (1) и (2) эквивалентны. Для $p>2$ они не имеют места. Более того, если $b_{n} \geqslant 0$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}<\infty$, то существует такая непрерывная функция $f$, что её коэффициенты Фурье по тригонометрической системе $c_{n}(f)$ удовлетворяют условию $\left|c_{n}(f)\right|>b_{n}$. Качественная формулировка неравенств Хаусдорфа – Юнга (если $f\in L_{p}$, $1 \leqslant p \leqslant 2$, то $\{c_{n}(f)\} \in l_{p^{\prime}}$) для неограниченных ортонормированных систем функций, вообще говоря, не имеет места. Аналог неравенств Хаусдорфа – Юнга справедлив для широкого класса функциональных пространств.