Представи́мый фу́нктор, ковариантный (или контравариантный) функтор $F$ из некоторой категории $\mathfrak{K}$ в категорию множеств $\mathfrak{S}$, изоморфный одному из основных теоретико-множественных функторов:

$$H_A(X)=H(A, X): \mathfrak{K} \longrightarrow \mathfrak{S}.$$Функтор $F: \mathfrak{K} \rightarrow \mathfrak{S}$ представим тогда и только тогда, когда найдутся такие объект $A \in \operatorname{Ob} \mathfrak{K}$ и элемент $a \in F(A)$, что для каждого элемента $x \in F(X)$, $X \in \operatorname{Ob} \mathfrak{K}$, существует единственный морфизм $\alpha: A \rightarrow X$, для которого $x=a F(\alpha)$. Объект $A$ называется представляющим функтор $F$; он определён однозначно с точностью до изоморфизма.

В категории множеств тождественный функтор представим: представляющим объектом служит одноточечное множество. Функтор взятия некоторой декартовой степени также представим: представляющим объектом служит множество, мощность которого равна этой степени. В произвольной категории произведение представимых функторов $F_i$ с представляющими объектами $A_i$, $i \in I$, представимо тогда и только тогда, когда в этой категории существует копроизведение объектов $A_i$. Всякий ковариантный представимый функтор перестановочен с пределами, т. е. непрерывен.

Представимый функтор – аналог понятия «свободная универсальная алгебра с одним образующим». Для любого функтора $G: \mathfrak{K} \rightarrow \mathfrak{S}$ и представимого функтора $F$ множество естественных преобразований $\operatorname{Nat}(F, G)$ изоморфно множеству $G(A)$, где $A$ – представляющий объект. Это показывает, что представимые функторы являются свободными объектами категории функторов.

Для аддитивных категорий вместо функторов со значениями в $\mathfrak{S}$ рассматриваются аддитивные функторы со значениями в категории абелевых групп; поэтому под представимым функтором понимается аддитивный функтор, изоморфный основному аддитивному функтору.

Понятие представимого функтора первоначально возникло в алгебраической геометрии (Гротендик. 1972). Наиболее важными примерами представимого функтора здесь являются функторы Пикара $\operatorname{Pic} X / S$ и Гильберта $\operatorname{Hilb} X / S$, представимые в категории алгебраических пространств (Артин. 1970). Пусть $K$ – поле частных регулярного дискретного нормированного кольца $O$ с совершенным полем вычетов. Если $X_0$ – гладкая геометрически неприводимая собственная кривая рода $g>0$ над $K$, то её минимальная модель представляет функтор $Y \mapsto \operatorname{Isom}_K\left(Y \otimes_O K, X_0\right)$ из категории регулярных

$O$-схем. Если $A$ – абелево многообразие над $K$, то его минимальная модель Нерона является гладкой групповой схемой $X \rightarrow \operatorname{Spec} O$, представляющей функтор $Y \mapsto \operatorname{Hom}_K(Y \otimes_O K, A)$ из категории гладких $O$-схем.