Пове́рхности Ляпуно́ва и кривые Ляпунова, класс поверхностей и кривых, обладающих достаточно хорошими свойствами гладкости, введённый в теории потенциала А. М. Ляпуновым в конце 19 – начале 20 вв. Поверхность $S$ в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ называется поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие 3 условия (условия Ляпунова):

1) в каждой точке $S$ существует определённая касательная плоскость и, следовательно, нормаль;

2) существует такое число $r>0$, одно и то же для всех точек $S$, что если взять часть $\Sigma$ поверхности $S$, попавшую внутрь сферы Ляпунова $B\left(y_{0}, r\right)$ с центром в любой точке $y_{0} \in S$ радиуса $r$, то прямые, параллельные нормали к $S$ в точке $y_{0}$, встречают $\Sigma$ не более чем один раз;

3) существуют такие два числа $A>0$ и $\lambda$, $0<\lambda \leqslant 1$, одни и те же для всей поверхности $S$, что для любых двух точек $y_{1}, y_{2} \in S$ выполняется неравенство$$|\theta|< A\left|y_{1}-y_{2}\right|^{\lambda}, \tag{*}$$где $\theta$ – угол между нормалями к $S$ в точках $y_{1}$ и $y_{2}$. Иногда к этим трём условиям добавляются требования замкнутости $S$ и того, чтобы телесный угол, под которым любая часть $\sigma$ поверхности $S$ видна из произвольной точки $x \in \mathbb{R}^{3}$, был равномерно ограничен.

Условия Ляпунова обобщаются для гиперповерхностей в пространстве $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 3$.

Аналогично, простая непрерывная кривая $L$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ называется кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям:

1') в каждой точке $L$ существует определённая касательная и, следовательно, нормаль;

3') существуют такие два числа $A>0$ и $\lambda$, $0<\lambda \leqslant 1$, одни и те же для всей кривой $L$, что для любых двух точек $y_{1}, y_{2} \in L$ выполняется неравенство (*), где $\theta$ – угол между касательными или нормалями к $L$ в точках $y_{1}$, $y_{2}$.

Условие Ляпунова 2) здесь вытекает из 1') и 3'). Кривые Ляпунова представляют собой подкласс простых гладких кривых.