Положи́тельный ко́нус, подмножество $K$ действительного векторного пространства $E$, удовлетворяющее следующим условиям:

1) если $x, y \in K$, $\alpha, \beta \geqslant 0$, то $\alpha x+\beta y \in K$;

2) $K \cap(-K)=0$.

Положительный конус определяет полуупорядочение в $E$: по определению, $x \prec y$, если $y-x \in K$.

Пусть $E$ – банахово пространство. Если $E$ – замкнутый воспроизводящий положительный конус (т. е. такой положительный конус, каждый вектор $z \in E$ которого представим в виде $z=x-y$, где $x, y \in K$), то $\|x\|+\|y\| \leqslant M\|z\|$, $M$ не зависит от $z$. Телесный, т. е. имеющий внутренние точки, положительный конус является воспроизводящим.

Пусть $E^*$ – сопряжённое пространство к банахову пространству $E$. Если $K \subset E$ – воспроизводящий положительный конус, то множество $K^* \subset E^*$ положительных (относительно положительного конуса) функционалов (т. е. таких $f$, что $f(x) \geqslant 0$ при $x \in K$) является положительным конусом (это так называемый сопряжённый конус). Положительный конус $K$ восстанавливается на $K^*$, а именно:

$$K=\left\{x \in E \mid f(x) \geqslant 0 \text { при } f \in K^*\right\} .$$Если $K$ – телесный положительный конус, то его внутренность совпадает с

$$\left\{x \in E \mid f(x)>0 \text { при } f \in K^*, f \neq 0\right\} .$$Конус в банаховом пространстве $E$ называется нормальным, если найдётся такое $\delta>0$, что $\|x+y\| \geqslant \delta(\|u\|+\|y\|)$ при $x, y \in K$. Положительный конус нормален тогда и только тогда, когда сопряжённый конус $K^*$ является воспроизводящим. Если $K$ – воспроизводящий конус, то сопряжённый конус $K^*$ нормален.

Конус $K$ называется миниэдральным, если каждая пара элементов $x, y \in E$ имеет точную верхнюю грань $z=\sup (x, y)$ (то есть $z \geqslant x, y$ и для любого $z_1 \in E$ из $z_1 \geqslant x, y$ вытекает $z_1 \geqslant z$). Если положительный конус правилен и миниэдрален, то всякое счётное ограниченное подмножество имеет точную верхнюю грань.