Полилине́йное отображе́ние ($n$-линейное отображение, полилинейный оператор), отображение $f$ прямого произведения $\prod_{i=1}^n E_i n$ унитарных модулей $E_i$ над ассоциативно-коммутативным кольцом $A$ с единицей в некоторый $A$-модуль $F$, линейное по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющее условию

$$\begin{gathered} f\left(x_1, \ldots, x_{i-1}, a y+b z, x_{i+1}, \ldots, x_n\right)= \\ =a f\left(x_1, \ldots, x_{i-1}, y, x_{i+1}, \ldots, x_n\right)+ \\ \quad+b f\left(x_i, \ldots, x_{i-1}, z, x_{i+1}, \ldots, x_n\right) \\ \quad\left(a, b \in A ;\; y, z \in E_i,\; i=1, \ldots, n\right). \end{gathered}$$В случае $n=2$ $(n=3)$ говорят о билинейном отображении (соответственно трилинейном). Каждое полилинейное отображение

$$f: \prod_{i=1}^n E_i \rightarrow F$$определяет единственное линейное отображение $\bar{f}$ тензорного произведения $\oplus_{i=1}^n E_i$ в $F$ такое, что

$$\bar{f}\left(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\right)=f\left(x_1, \ldots, x_n\right),\quad x_i \in E_i,$$причём соответствие $f \mapsto \bar{f}$ есть биекция множества полилинейного отображения $\prod_{i=1}^n E_i \rightarrow F$ на множество всех линейных отображений $\otimes_{i=1}^n E_i \rightarrow F$. Полилинейные отображения $\prod_{i=1}^n E_i \rightarrow F$ естественным образом образуют $A$-модуль.

В $A$-модуле $L_n(E, F)$ всех $n$-линейных отображений $E^n \rightarrow F$ действует симметрическая группа $S_n$:

$$(sf) \left(x_1 , \ldots, x_n\right)=f\left(x_{s(1)}, \ldots, x_{s(n)}\right),$$где $s \in S_n$, $f \in L_n(E, F)$, $x_i \in E$. Полилинейное отображение $f$ называется симметрическим, если $s f=f$ для всех $s \in S_n$, и кососимметрическим, если $s f=\varepsilon(s) f$, где $\varepsilon(s)= \pm 1$ в зависимости от чётности подстановки $s$. Полилинейное отображение называется знакопеременным (или альтернированным), если $f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0$, как только $x_i=x_j$ для некоторых $i \neq j$. Всякое знакопеременное полилинейное отображение кососимметрично, а если в $F$ уравнение $2 y=0$ имеет единственное решение $y=0$, то верно и обратное. Симметрические полилинейные отображения образуют подмодуль в $L_n(E, F)$, естественно изоморфный модулю линейных отображений $L\left(S^n E, F\right)$, где $S^n E$ есть $n$-я симметрическая степень $E$ (см. в статье Симметрическая алгебра), знакопеременные полилинейные отображения – подмодуль, естественно изоморфный $L\left(\Lambda^n E, F\right)$, где $\Lambda^n E$ есть $n$-я внешняя степень модуля $E$ (см. Внешняя алгебра). Полилинейные отображения вида $\alpha_n f=\sum_{s \in S_n} s f$ называются симметризованными, а полилинейные отображения вида $\sigma_n f=\sum_{s \in S_n}\varepsilon(s) s f$ – кососимметризованными. Симметризованные (кососимметризованные) полилинейные отображения симметричны (соответственно знакопеременны), а если в $F$ уравнение $n ! y=c$ имеет для каждого $c \in F$ единственное решение, то верно и обратное. Для того чтобы всякое знакопеременное полилинейное отображение было кососимметризованным, достаточно также, чтобы модуль $E$ был свободным.