По́ле Галуа́ (конечное поле), поле, число элементов которого конечно. Впервые рассматривалось Э. Галуа (Галуа. 1936. С. 35–47).

Число элементов любого поля Галуа есть степень $p^n$ некоторого натурального простого числа $p$, являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого $p$ и любого натурального $n$ существует (и единственно с точностью до изоморфизма) поле из $p^n$ элементов. Оно обозначается $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ или $\mathrm{F}_{p^n}$. Поле $\mathrm{GF}\left(p^m\right)$ содержит в качестве подполя поле $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ в том и только в том случае, когда $m$ делится на $n$. B частности, в любом поле $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ содержится поле $\mathrm{GF} (p)$, называемое простым полем характеристики $p$. Поле $\mathrm{GF}(p)$ изоморфно полю $Z /(p)$ классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю $p$. В любом фиксированном алгебраическом замыкании $\Omega$ поля $\mathrm{GF}(p)$ существует точно одно подполе $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$для каждого $n$. Соответствие $n \leftrightarrow \mathrm{GF}\left(p^n\right)$ является изоморфизмом между решёткой натуральных чисел относительно делимости и решёткой конечных алгебраических расширений поля $\mathrm{GF}(p)$, лежащих в $\Omega$, относительно включения. Такова же решётка множества конечных алгебраических расширений любого поля Галуа, лежащих в его фиксированном алгебраическом замыкании.

Алгебраическое расширение $\mathrm{GF}\left(p^n\right) / \mathrm{GF}(p)$ является простым, т. е. существует примитивный элемент $\alpha \in \mathrm{GF}\left(p^n\right)$ такой, что $\mathrm{GF}\left(p^n\right)=\mathrm{GF}(p)(\alpha)$. Таким $\alpha$ будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени $n$ из кольца $\mathrm{GF} (p)[\mathrm{X}]$. Число примитивных элементов расширения $\mathrm{GF}\left(p^n\right) / \mathrm{GF}(p)$ равно

$$\sum_{d|n} \mu(d) p^{n / d},$$где $\mu$ – функция Мёбиуса. Аддитивная группа поля $\mathrm{GF} \left(p^n\right)$ естественным образом наделяется структурой $n$-мерного векторного пространства над $\mathrm{GF}(p)$. B качестве базиса можно взять $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n-1}$. Ненулевые элементы поля $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$образуют мультипликативную группу $\mathrm{GF}^*\left(p^n\right)$порядка $p^n-1$, т. е. каждый элемент из $\mathrm{GF}^*\left(p^n\right)$ является корнем многочлена $X^{p^n-1}-1$.

Группа $\mathrm{GF}^*\left(p^n\right)$ циклическая, её образующие – первообразные корни из единицы степени $p^n-1$, число которых равно $\varphi\left(p^n-1\right)$, где $\varphi$ – функция Эйлера. Каждый первообразный корень из единицы степени $p^n-1$ является примитивным элементом расширения $\mathrm{GF}\left(p^n\right) / \mathrm{GF}(p)$, но не наоборот. Точнее, среди

$$\frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n / d}$$неприводимых унитарных многочленов степени $n$ над $\mathrm{GF}(p)$ имеется $\frac{1}{n} \varphi\left(p^n-1\right)$ таких, корни которых будут образующими для $\mathrm{GF}^*\left(p^n\right)$.

Множество элементов поля $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ в точности совпадает с множеством корней многочлена $X ^{p^n}-X$ в $\Omega$, т. е. $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ характеризуется как подполе элементов из $\Omega$, инвариантных относительно автоморфизма $\tau: x \rightarrow x^{p^n}$, называемого автоморфизмом Фробениуса. Если $\mathrm{GF}\left(p^m\right) \supset \mathrm{GF}\left(p^n\right)$, то расширение $\mathrm{GF}\left(p^m\right) / \mathrm{GF}\left(p^n\right)$ нормально, а его группа Галуа $\mathrm{Gal}\left(\mathrm{GF}\left(p^m\right) / \mathrm{GF}\left(p^n\right)\right)$ циклическая порядка $m/n$. B качестве образующей группы $\mathrm{Gal} \left(\mathrm{GF}\left(p^m\right) / \mathrm{GF}\left(p^n\right)\right)$ может быть взят автоморфизм $\tau$.