По́ле экстрема́лей, область $(n+1)$-мерного пространства переменных $x, y_1, \ldots, y_n$, покрытая без пересечений $n$-параметрическим семейством экстремалей функционала

$$J=\int_{(A)}^{(B)} F\left(x, y_1, \ldots, y_n, y_1^{\prime}, \ldots, y_n^{\prime}\right)\,d x, \tag{1}$$где $A$ и $B$ – начальные и конечные точки, через которые проходят экстремали семейства.

Различают случаи собственного (или общего) и центрального полей экстремалей. Собственное поле экстремалей соответствует случаю, когда экстремали семейства трансверсальны некоторой поверхности

$$\varphi\left(x, y_1, \ldots, y_n\right)=0, \tag{2}$$т. е. на этой поверхности выполняются условия трансверсальности

$$\frac{F-\sum_{i=1}^n y_i^{\prime}F_{y_i^{\prime}}}{\varphi_x} =\frac{F_{y_1^{\prime}}}{\varphi_{y_1}}= \ldots=\frac{F_{y_n^{\prime}}}{\varphi_{y_n}}. \tag{3}$$Таким образом, для собственного поля экстремалей точка $A$ (или $B$) в (1) принадлежит поверхности (2) и в ней выполняются условия (3).

Центральное поле экстремалей соответствует случаю, когда экстремали семейства исходят из одной точки, находящейся вне поля, например из общей начальной точки $A$.

Наклоном поля экстремалей называют вектор-функцию $u(x, y)= \left(u_1(x, y), \ldots, u_n(x, y)\right)$, относящую каждой точке $(x, y)=\left(x, y_1, \ldots, y_n\right)$ поля вектор $y^{\prime}(x)=\left(y_1^{\prime}(x),\ldots, y_n^{\prime}(x)\right)$.

Для задач с подвижными концами, когда $y(x)$ есть экстремаль, дифференциал интеграла (1) имеет вид

$$d J=\left[\left(F-\sum_{i=1}^n y_i^{\prime} F_{y_i^{\prime}}\right)\,d x +\sum_{i=1}^n F_{y_i^{\prime}} d y_i\right]_{x_1}^{x_2}, \tag{4}$$где дифференциалы $d x$ и $d y$ вычисляются вдоль линий смещения подвижных концов $A\left(x_1, y\left(x_1\right) \right)$ и $B\left(x_2, y\left(x_2\right)\right)$, а $y^{\prime}$ – угловой коэффициент касательной к экстремали $y(x)$.

Выражение в квадратных скобках в (4) можно записать в виде

$$-H d x+\sum_{t=1}^n p_i\, d y_i, \tag{5}$$где

$$\begin{gathered} H=-F(x, y, u(x, y))+\sum_{i=1}^n u_i(x, y) F_{y_i^{\prime}}(x, y, u(x, y)), \\ p_i=F_{y_i^{\prime}}(x, y, u(x, y)). \end{gathered}$$В поле экстремалей выражение (5) является полным дифференциалом некоторой функции от $x$, $y_1, \ldots, y_n$, поскольку имеют место равенства

$$-\frac{\partial H}{\partial y_i}=\frac{\partial p_i}{\partial x}, \quad \frac{\partial p_i}{\partial y_k}=\frac{\partial p_k}{\partial y_i}, \quad i, k=1, \ldots, n.$$Эта функция с точностью до постоянного слагаемого есть криволинейный интеграл

$$\int_C-H(x, y, p)\, d x+\sum_{i=1}^n p_i\, d y_i, \tag{6}$$он называется инвариантным интегралом Гильберта. В (6) через $C$ обозначена произвольная кривая $y(x)$, лежащая в поле экстремалей и соединяющая точки $A$ и $B$. Термин «инвариантный» подчёркивает тот факт, что интеграл (6) не зависит от выбора кривой $C$, а определяется только заданными граничными точками.

Интеграл Гильберта (6) можно записать в эквивалентном виде

$$\begin{aligned} & \int_C\left[F(x, y, u)-\sum_{i=1}^n u_i F_{y_i^{\prime}}(x, y, u(x, y))\right] d x+ \\ & \qquad\qquad \qquad+ \sum_{i=1}^n F_{y_i^{\prime}}(x, y, u) d y_i= \\ = & \int_C\left(F^{\prime}(x, y, u)+\sum_{i=1}^n\left(\frac{d y_i}{d x}-u_i\right) F_{y_i^{\prime}}(x, y, u)\,\right) d x. \end{aligned} \tag{7}$$Если в качестве кривой сравнения $C$ взять экстремаль $E$, то $\frac{d y_i}{d x}=u_i$, и для интеграла Гильберта (7) получается выражение

$$\int_E F(x, y, u(x, y))\, d x, \tag{8}$$что совпадает с геодезическим расстоянием между точками $A$ и $B$, определяемым как значение функционала (1) на экстремали, соединяющей точки $A$ и $B$.

Указанное свойство поля экстремалей и инвариантного интеграла Гильберта лежит в основе теории достаточных условий экстремума, развитой К. Вейерштрассом. Оно позволяет при исследовании на знак приращения функционала

$$\Delta J=J(C)-J(E) \tag{9}$$выразить значение функционала $J(E)$, взятого вдоль экстремали (в предположении, что она окружена полем экстремалей) через инвариантный интеграл Гильберта по кривой сравнения $C,$ соединяющей те же точки. Тем самым приращение функционала (9) представляется в виде криволинейного интеграла по кривой сравнения ${C}$:

$$\begin{aligned} \Delta J&=\int_C\left(F\left(x, y, y^{\prime}\right)-F^{\prime}(x, y, u)- \sum_{i=1}^n\left(y_i^{\prime}-u_i\right) F_{y_i^{\prime}}(x, y, u)\right)\, d x= \\ &=\int_C \mathscr{E}\left(x, y, u, y^{\prime}\right)\, d x. \end{aligned} \tag{10}$$Подынтегральная функция $\mathscr{E}\left(x, y, u, y^{\prime}\right)$ в (10) называется $\mathscr{E}$-функцией Вейерштрасса. Неотрицательность (неположительность) этой функции в любой точке поля экстремалей при произвольных конечных значениях $y^{\prime}$ достаточна для того, чтобы экстремаль $E$ доставляла сильный минимум (максимум) функционалу (1) на множестве всех кривых сравнения, соединяющих точки $A$ и $B$.