Семе́йство экстрема́лей, совокупность решений уравнений Эйлера, зависящая от $n$ произвольных постоянных, заполняющая без взаимных пересечений некоторую часть $(n+1)$-мерного пространства. Здесь $n$ – число неизвестных функций $y_i(x)$, $i=1, \ldots, n$, от которых зависит минимизируемый функционал$$J\left(y_1, \ldots, y_n\right)=\int_{x_1}^{x_z} F\left(x, y_1, \ldots, y_n, y_1^{\prime}, \ldots, y_n^{\prime}\right) d x,$$а уравнение Эйлера понимается в векторном смысле, т. е. представляет собой систему $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка$$F_{y_i}-\frac{d}{d x} F_{y_i^{\prime}}=0, \quad i=1, \ldots, n.$$Ниже приводятся два способа построения семейства экстремалей.

Пусть рассматривается пучок экстремалей, выходящих из заданной точки $M_0\left(x_0, y_0\right)$ в $(n+1)$-мерном пространстве. Если экстремали пучка взаимно не пересекаются в некоторой окрестности точки $M_0$ (кроме точки $M_0$), то они в этой окрестности образуют семейство экстремалей (центральное семейство экстремалей).

Другой способ построения экстремалей состоит в построении множества экстремалей, трансверсальных к поверхности $S_0$, заданной в $(n+1)$-мерном пространстве уравнением$$\varphi(x, y)=0.$$Если в каждой точке этой поверхности условия трансверсальности$$\frac{F-\sum_{i=1}^n y_i^{\prime} F_{y_i^{\prime}}^{\prime}}{\varphi_x}=\frac{{ }F_{y_1^{\prime}}}{\varphi_{y_1}}=\ldots=\frac{F_{y_n^{\prime}}}{\varphi_{y_n}},$$представляющие совокупность $n$ условий, определяют значения $n$ производных $y_i^{\prime}$, $n=1, \ldots, n$, то, принимая эти значения за начальные значения производных, можно через точку поверхности $S_0$ провести экстремаль, которая пересекается с поверхностью $S_0$ трансверсально. Если в окрестности этой поверхности указанные экстремали взаимно не пересекаются, то они образуют семейство экстремалей (общее, или собственное, семейство экстремалей).

Построение семейства экстремалей является исходным пунктом при рассмотрении вопросов, связанных с построением поля экстремалей. Семейство экстремалей является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейств.