Плотностны́е теоре́мы, общее название теорем, которые дают оценку сверху для числа $N(\sigma, T, \chi)$ нулей $\rho=\beta+i \gamma$ $L$-функций Дирихле

$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \chi(n, k) n^{-s},$$где $s=\sigma+i t$, $\chi(n, k)$ – характер по модулю $k$ в прямоугольнике $1 / 2<\sigma \leqslant \beta<1$, $|\gamma| \leqslant T$. В случае $k=1$ получают плотностные теоремы для числа нулей дзета-функции Римана

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}.$$Плотностные теоремы для $L$-функций при $k \neq 1$ сложнее, чем соответствующие теоремы для дзета-функции Римана. При растущих параметрах $T$ и $k$ получаются оценки, зависящие от этих параметров. В приложениях решающую роль играет параметр $k$.

Значение плотностных теорем выясняется из соотношений, позволяющих оценивать остаточный член в формуле для количества простых чисел $p$, принадлежащих арифметической прогрессии $k m+l$, $1 \leqslant l \leqslant k$, $(l, k)=1$, $m=0,1, 2, \ldots$, и не превосходящих $x$, в зависимости от $N(\sigma, {T}, \chi)$.

Поскольку функция $N(\sigma, T, \chi)$ не возрастает при возрастании $\sigma$ и $N(1, T, \chi)=0$, целью плотностных теорем является получение оценок, наиболее быстро стремящихся к нулю при $\sigma \rightarrow 1$. В свою очередь, эти оценки существенно дополняются результатами об отсутствии нулей у $L$-функций Дирихле в окрестности прямой $\sigma=1$, которые получаются с помощью кругового метода Харди – Литлвуда – Виноградова. На этом пути удалось получить сильные оценки для количества чётных чисел $n \leqslant x$, возможно непредставимых в виде суммы двух простых чисел.

Первые плотностные теоремы, доставлявшие оценки $N(\sigma, T, \chi)$ для индивидуального характера $\chi$ и усреднённые оценки по всем характерам данного модуля $k$, были получены Ю. В. Линником. Дальнейшее значительное улучшение плотностных теорем принадлежит А. И. Виноградову и Э. Бомбьери, которые использовали оценки $N(\sigma, T, \chi)$, усреднённые по всем модулям $k \leqslant Q$ и по всем примитивным характерам данного модуля $k$, для доказательства теоремы о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем [при $Q=\sqrt{x} /(\ln x)^c$].

Теорема Виноградова – Бомбьери позволяет в ряде классических задач аддитивной теории чисел заменять расширенную гипотезу Римана. Имеется ряд других улучшений плотностных теорем.