Первообра́зный ко́рень из едини́цы (первообразный корень из $1$) степени $n$ ($n$ – натуральное число) в ассоциативном коммутативном кольце с единицей $R$, элемент $w \in R,$ удовлетворяющий условиям:

сумма $n$ единиц кольца $R$ обратима в $R, \quad (1)$

$w^n = 1$ и для $k = 1, 2, \ldots , n-1$ разность $(1-w^k)$ не является делителем нуля в $R.\quad (2)$

При этом $0$ считается делителем нуля в $R.$ Условие $(1)$ часто формулируют, допуская некоторую вольность речи и говоря, что число $n$ обратимо в $R.$

Если $R$ является полем, то данное определение может быть упрощено. Вместо условий $(1)$ и $(2)$ может быть взято эквивалентное им условие $(3).$ И тогда элемент $w \in R$ называется первообразным корнем из $1$ степени $n$ в поле $R,$ если $w^n = 1$ и $w$ не является корнем из единицы никакой положительной степени $k,$ меньшей $n,$ т. е. если для $w$ выполнены условия

$w^n = 1$ и для $k = 1, 2, \ldots , n-1$ разность $(1-w^k)$ не равна $0.\quad (3)$

Теорема. Если $w$ – первообразный корень из $1$ степени $n$ в кольце $R,$ то:

• элементы $w^0, w^1, w^2, \ldots , w^{n-1}$ попарно различны,$\quad (4)$

• для любого $i = 1, 2, \ldots , n-1$ сумма $\sum_{j=0}^{n-1}w^{ij}$ равна $0,\quad (5)$

• теоретико-числовое $\text{ДПФ}_{R,n,w}$ обратимо.$\quad (6)$

Доказательство утверждения $(4).$ Предположим, что существуют целые $a$ и $b$ такие, что $0\le a < b\le n-1$ и $w^a=w^b,$ тогда для $i=b–a$ выполняется $w^a(1-w^i) = 0.$ Так как первый сомножитель $w^a$ произведения $w^a(1–w^i)$ отличен от нуля, то второй сомножитель оказывается делителем нуля, что противоречит $(2).$

Доказательство утверждения $(5).$ В кольце многочленов $Z[c]$ от одной переменной с целыми коэффициентами для любого целого $n\ge 1$ выполняется тождество $$(1-c)(1+c+c^2+\ldots +c^{n-1})=1-c^n.$$Подставляя в это тождество $с=w^i,$ где $1\le i<n,$ получаем $$(1-w^i)\sum_{j=0}^{n-1}w^{ij}=1-(w^i)^n,$$где правая часть равна нулю, т. к. $1-(w^i)^n=1-(w^n)^i=1–1=0.$

Первый сомножитель произведения $(1-w^i)\sum_{j=0}^{n-1}w^{ij}$ согласно $(2)$ не является делителем нуля, значит второй сомножитель $\sum_{j=0}^{n-1}w^{ij}$ равен нулю.

Доказательство утверждения $(6)$ см. в статье Теоретико-числовое дискретное преобразование Фурье.

Пример 1. В поле комплексных чисел число $w=e^{-2\pi i/n}=\cos(–2\pi/n) + i\sin(–2\pi/n)$ является корнем из $1$ степени $n$ и не является корнем из $1$ меньшей степени, поэтому является первообразным корнем из $1$ степени $n.$ Cтепени этого корня $w^0, w^1, w^2,\ldots , w^{n-1}$ попарно различны, исчерпывают всё $n$-элементное множество комплексных корней из $1$ степени $n$ и их сумма равна нулю.

Замечание. Для любого поля $R$ из $(3)$ следуют $(1)$ и $(2).$ Существуют кольца, для которых это не так.

Пример 2. Обозначим через $w$ вычет числа $3$ в кольце с единицей $R=\mathbb Z/8\mathbb Z.$ Этот вычет является корнем из $1$ степени $2$ и не равен $1.$ Поэтому $1-w \ne  0,$ т. е. выполнено условие $(3)$ для $n=2.$ Однако сумма $1+1$ в кольце $R$ не равна нулю и $1-w$ является делителем нуля, т. е. $(1)$ и $(2)$ не выполняются.