Ко́рень из едини́цы степени $n$ (или $n$-й степени) в ассоциативном коммутативном кольце с единицей $R,$ элемент $w \in R,$ удовлетворяющий условию $w^n = 1,$ где через $1$ обозначен нейтральный элемент (единица) мультипликативной операции в $R,$ $n$ – натуральное число.

Для любого $n\ge1$ множество корней из $1$ степени $n$ замкнуто в $R$ относительно операций умножения и взятия обратного элемента и содержит $1,$ потому образует группу по умножению. Если $R$ является полем, то эта группа а) содержит не более $n$ элементов и б) является циклической. Для кольца с единицей утверждения а) и б) неверны (см. пример 1).

Пример 1. В кольце вычетов по модулю $8$ имеется четыре корня из $1$ степени $2:$ вычеты чисел $1,$ $3,$ $5$ и $7.$ Ни один из этих вычетов не порождает мультипликативную группу корней из $1$ степени $2$ в факторкольце $\mathbb Z/8\mathbb Z.$

Пример 2. В поле вычетов по простому модулю $p$ множество корней степени $p-1$ из $1$ совпадает с множеством ненулевых элементов поля и является циклической группой по умножению порядка $p-1.$

Пример 3. В поле комплексных чисел для любого $n\ge1$ существует ровно $n$ корней из $1$ степени $n,$ задающихся формулой$$w =\cos\frac{2\pi k}n + i \sin\frac{2\pi k}n,$$где $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$ и $i$ – мнимая единица.

Корень $w$ из $1$ $n$-й степени в поле или кольце $R$ является параметром конструкции, называемой дискретное преобразование Фурье и применяемой к элементам $R^n.$ Это преобразование будет обратимым, если $w$ будет т. н. первообразным корнем из единицы степени $n.$ Это понятие не следует путать с понятием «первообразный корень по модулю $m$».