Параметри́ческое представле́ние в тео́рии одноли́стных фу́нкций, представление однолистных функций, осуществляющих конформное отображение плоских областей на области канонического вида (например, на круг с концентрическими разрезами); оно возникает обычно следующим образом. Выбирается однопараметрическое семейство областей $Q_t$, $0\le t < T$, вложенных друг в друга, $Q_{t'}\subset Q_t$, $0 \le t'< t < T$. Для области $Q_0$ предполагается известным её конформное отображение $f_0$ на некоторую каноническую область $B_0$. По известному отображению $f_t$ области $Q_t$ на область канонического вида строится такое же отображение $f_{t+\varepsilon}$ для области $Q_{t+\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$ и мало. При непрерывном изменении параметра $t$ на этом пути возникают дифференциальные уравнения, наиболее известными из которых являются уравнение Лёвнера и уравнение Лёвнера – Куфарева. В дискретном случае – для сеточных областей $Q_t$ и натурального параметра $t$ – переход от отображения $f_t$ к отображению $f_{t+\varepsilon}$, $\varepsilon = 1$, осуществляется по рекуррентным формулам. Источником упомянутых формул и уравнений служит обычно формула Шварца (см. Голузин. 1966) и её обобщения (см. Александров. 1972). Не менее важным источником параметрических представлений служат вариации Адамара (см. Hadamard. 1908; 1910) для функций Грина $G_t(z, z')$, $z, z'\in Q_t$, указанного выше семейства областей. Метод Адамара называется также методом инвариантного погружения (см. Беллман. 1974) для эллиптических дифференциальных уравнений. Ниже показана связь параметрических представлений, вариаций Адамара и инвариантного погружения в простейшем (дискретном) случае.

Пусть $Q$ – некоторый набор целых комплексных чисел (сеточная область) и функция Грина $G_t(z, z')$ – экстремаль функционала Дирихле – Дугласа$$I_t(g) = 2g(z')+\sum_{k=0}^1 \sum_{z\in Q_0} \rho_k(t) \big|\nabla_k g(z)\big|^2$$в классе $R_0$ всех действительных на $Q$ функций $g(z)$. Здесь $Q_0 = \{ z| z, z-1, z-i, z-1-i\in Q\}$,$$\nabla_0 g(z) = g(z) - g(z-1-i),\quad \nabla_1 g(z) = g(z-1)-g(z-i), \tag{1}$$$$\rho_k(0)\equiv 1,\quad \rho_k (t+1)=\rho_k(t)+ N\delta^\zeta_{\zeta_t},$$$N$ – натуральное число, $\delta^\zeta_{\zeta_t}$ – символ Кронекера и $\zeta_t = (k_t, z_t)$, $t=0,1,\dots, T-1$, – некоторый набор пар чисел; $\{z_t|t=1,\dots, T\}$ – граница области $Q_t$, $k_t=0$ или $1$. Нахождение экстремума функционала $I_t(g)$ – задача квадратичного программирования. Сравнение её решений при $t$ и $t + 1$ даёт основную формулу инвариантного погружения (вариацию Адамара):$$G_{t+1}(z,z') = G_t(z,z') - \frac{1}{c_t}\nabla_{k_t} G_t(z_t, z)\nabla_{k_t}G_t(z_t, z'),\tag{2}$$где $c_t = N^{-1}-\nabla_{k+t}\nabla'_{k_t} G_t(z_t, z_t)>0$, символ $\nabla_k'$ означает разностные операторы (1) по второму аргументу функции Грина. Зная функцию $G_0(z, z')$, можно шаг за шагом (рекуррентно) получить по формуле (2) все функции $G_t(z,z')$, $t=1,\dots, T$. Достроив функцию Грина до сеточно аналитической функции $f_T(z) = G_T(z,z')+i H_T(z,z')$ согласно уравнениям типа Коши – Римана$$(-1)^k\nabla_{1-k} H = \rho_k\nabla_k G,$$получают однолистное сеточно-квазиконформное отображение $w = \operatorname{exp} [2\pi f_T(z)]$ области $Q_T$ в единичный круг. Ближайшим к началу координат будет образ точки $z'$. В пределе при $N\to\infty$ отображение сеточно-конформно и образом области $Q_T$ служит круг с концентрическими разрезами. Получен непрерывный аналог формулы (2) (см. Попов. 1972). В случае, когда все области $G_t$ односвязны и канонической областью служит единичный круг $B$, удаётся, используя дробно-линейные автоморфизмы круга $B$, представить функцию Грина в явном виде$$G_t(z,z') = \operatorname{ln} |1-f_t(z)\overline{f_t(z')}| - \operatorname{ln}|f_t(z)-f_t(z')|$$через функцию $f_t(z)$, отображающую $Q_t$ на $B$ с нормировкой $f(0)=0$, $0\in Q_t$ для всех $t\in [0, T)$.

В терминах отображения $w=f_t(z)$ вариация Адамара сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (Лёвнера). По сравнению с вариацией Адамара это уравнение значительно проще, однако информация о границе области $Q_t$ представлена в нём неявно – через управляющий параметр $\alpha(t) = \operatorname{arg} f_t(z_t)$, поскольку функция $f_t(z)$ заранее неизвестна. Тем не менее уравнение Лёвнера – основной инструмент параметрических представлений.

Были рассмотрены более общие однопараметрические семейства областей $Q_t$, $0\le t<T$, не обязательно вложенных друг в друга (см. Куфарев. 1943). Возникающие при таких параметрических представлениях уравнения называются уравнениями Куфарева – Лёвнера. Существуют также модификации уравнений Лёвнера и Куфарева – Лёвнера на те случаи, когда области $Q_t$ обладают различного рода симметриями или иными геометрическими особенностями (Голузин. 1960).