Относи́тельная гомологи́ческая а́лгебра, гомологическая алгебра, ассоциированная с парой абелевых категорий $(\mathfrak{A}, \mathfrak{M})$ и фиксированным функтором $\Delta: \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{M}$. Функтор $\Delta$ предполагается аддитивным, точным и полным. Короткая точная последовательность объектов категории $\mathfrak{A}$

$$0 \longrightarrow A \longrightarrow B \rightarrow C \longrightarrow 0$$называется допустимой, если точная последовательность

$$0 \longrightarrow \Delta A \longrightarrow \Delta B \longrightarrow \Delta C \longrightarrow 0$$расщепляется в категории $\mathfrak{M}$. Посредством класса $\mathscr{E}$ допустимых точных последовательностей определяется класс $\mathscr{E}$-проективных (соответственно $\mathscr{E}$-инъективных) объектов как класс таких объектов $P$ (соответственно $Q$), для которых функтор $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{A}}(P,-)$ [соответственно $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{A}}(-, Q)$] точен на допустимых коротких точных последовательностях.

Любой проективный объект $P$ категории $\mathfrak{A}$ является $\mathscr{E}$-проективным; это не означает, однако, что в категории $\mathfrak{A}$ достаточно много относительно проективных объектов (т. е. что для любого объекта $A$ из $\mathfrak{A}$ существует допустимый эпиморфизм $P \rightarrow A$ некоторого $\mathscr{E}$-проективного объекта категории $\mathfrak{A}$). Если в категории $\mathfrak{A}$ достаточно много $\mathscr{E}$-проективных или $\mathscr{E}$-инъективных объектов, то обычные конструкции гомологической алгебры позволяют строить в этой категории производные функторы, называемые относительными производными функторами.

Примеры. Пусть $\mathfrak{A}$ – категория $R$-модулей над ассоциативным кольцом $R$ с единицей, $\mathfrak{M}$ – категория множеств, $\Delta: \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{M}$ – функтор, «забывающий» структуру модуля. В этом случае все точные последовательности допустимы, и в результате получается «абсолютная» (т. е. обычная) гомологическая алгебра.

Если $G$ – группа, то каждый $G$-модуль является, в частности, абелевой группой. Если $R$ является алгеброй над коммутативным кольцом $k$, то каждый $R$-модуль является $k$-модулем. Если $R$ и $S$ – кольца и $R \supset S$, то каждый $R$-модуль является $S$-модулем. Во всех этих случаях имеется функтор из одной абелевой категории в другую, определяющий относительные производные функторы.