Одноро́дное симплекти́ческое простра́нство, симплектическое многообразие $(M,\omega)$ вместе с транзитивной группой Ли $G$ его автоморфизмов. Элементы алгебры Ли $\mathfrak g$ группы $G$ можно рассматривать как симплектические векторные поля на $M$, т. е. поля $X$, сохраняющие симплектическую 2-форму $\omega$:$$X\cdot\omega = d\, i_X\omega=0,$$где точкой обозначена производная Ли, $i_X$ – оператор внутреннего умножения на $X$, $d$ – внешний дифференциал. Однородное симплектическое пространство называется строго симплектическим, если все поля $X\in\mathfrak g$ гамильтоновы, т. е. $i_X\omega=dH_X$, где $H_X$ – функция на $M$ (гамильтониан поля $X$), причём гамильтониан $H_X$ можно выбрать так, чтобы отображение $X\mapsto H_X$ было гомоморфизмом алгебры Ли $\mathfrak g$ в алгебру Ли функций на $M$ относительно скобки Пуассона. Примером строго однородного симплектического пространства является орбита $M_\alpha = (\operatorname{Ad}^* G)_\alpha$ группы Ли $G$ относительно коприсоединённого представления $\operatorname{Ad}^* G$ группы $G$ в пространстве $\mathfrak g^*$ линейных форм на $\mathfrak g$, проходящая через произвольную точку $\alpha\in\mathfrak g^*$. Инвариантная симплектическая 2-форма $\omega$ на $M_\alpha$ задаётся формулой$$\omega(X_\beta, Y_\beta) = d\beta(X,Y) \equiv \beta([X,Y]),$$где $X_\beta$, $Y_\beta$ – значения векторных полей $X, Y\in\mathfrak g$ в точке $\beta\in M_\alpha$. Поле $X\in\mathfrak g$ имеет гамильтониан $H_X(\beta) = \beta(X)$.

Для произвольного строго однородного симплектического пространства $(M,\omega, G)$ определено $G$-эквивариантное отображение момента$$\mu: M\to\mathfrak g^*,\quad x\mapsto\mu_x,\quad \mu_x(X) = H_X(x),$$которое отображает $M$ на орбиту $\mu(M)$ группы $G$ в $\mathfrak g^*$ и является локальным изоморфизмом симплектических многообразий. Таким образом, любое строго однородное симплектическое пространство группы $G$ является накрытием над орбитой группы $G$ в коприсоединённом представлении.

Односвязные однородные симплектические пространства с односвязной, но не обязательно эффективно действующей группой автоморфизмов $G$ находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами естественного действия группы $G$ в пространстве $Z^2(\mathfrak g)$ замкнутых 2-форм на её алгебре Ли $\mathfrak g$. Соответствие определяется следующим образом: ядро $\mathfrak K^\sigma$ любой 2-формы $\sigma\in Z^2(\mathfrak g)$ является подалгеброй алгебры Ли $\mathfrak g$. Соответствующая $\mathfrak K^\sigma$ связная подгруппа $K^\sigma$ группы Ли $G$ замкнута и определяет односвязное однородное пространство $M^\sigma = G/K^\sigma$. Форма $\sigma$ задаёт невырожденную 2-форму в касательном пространстве $T_0 M^\sigma\simeq\mathfrak g/\mathfrak K^\sigma$ точки $o = e K^\sigma$ многообразия $M^\sigma$, которая продолжается до $G$-инвариантной симплектической формы $\omega^\sigma$ на $M^\sigma$. Таким образом, форме $\sigma$ отвечает односвязное однородное симплектическое пространство $(M^\sigma, \omega^\sigma)$. Если $\mathfrak K^\sigma$ не содержит идеалов алгебры Ли $\mathfrak g$, то действие $G$ на $M^\sigma$ локально эффективно. Однородные симплектические пространства $M^\sigma$ и $M^{\sigma'}$ изоморфны тогда и только тогда, когда формы $\sigma$, $\sigma'$ принадлежат одной орбите группы $G$ в $Z^2(\mathfrak g)$. Для точной 2-формы $\sigma=d\alpha$ однородное симплектическое пространство $M^\sigma$ отождествляется с универсальной накрывающей однородного симплектического пространства $M_\alpha$, являющегося орбитой точки $\alpha$ в коприсоединённом представлении. Если $[\mathfrak g,\mathfrak g]=\mathfrak g$, то орбита $G\sigma$ любой точки $\sigma\in Z^2(\mathfrak g)$ канонически снабжается структурой однородного симплектического пространства и любое однородное симплектическое пространство односвязной группы $G$ изоморфно накрытию над одной из таких орбит. В частности, $M^\sigma$ есть универсальная накрывающая орбиты $G\sigma$.

Пусть $(M,\omega)$ – компактное однородное симплектическое пространство односвязной связной группы $G$, действующей локально эффективно. Тогда $G$ есть прямое произведение полупростой компактной группы $S$ и разрешимой группы $R$, разлагающейся в полупрямое произведение абелевой подгруппы и абелева нормального делителя, а однородное симплектическое пространство $(M,\omega)$ разлагается в прямое произведение однородных симплектических пространств с группами автоморфизмов $S$ и $R$ соответственно.

Частным случаем однородного симплектического пространства является симплектическое групповое пространство – группа Ли вместе с левоинвариантной симплектической формой $\omega$. Известно, что из редуктивности группы Ли, допускающей левоинвариантную симметричную форму, следует её коммутативность, а из унимодулярности – разрешимость. Все такие группы размерности $\le 4$ разрешимы, но начиная с размерности $6$ существуют неразрешимые симплектические групповые пространства (Bon-Yao Chu. 1974).