Нецентра́льное распределе́ние хи-квадра́т (нецентральное $\chi^2$-распределение), непрерывное, сосредоточенное на положительной полуоси $0<x<\infty$ распределение вероятностей с плотностью

$$p(x)=\frac{e^{\frac{x+\lambda}2}x^{\frac{n-2}2}}{2^{n/2}\Gamma\left(\frac12\right)}\sum_{r=0}^\infty\frac{\lambda^rx^r}{(2r)!}\,\frac{\Gamma\left(\frac12+r\right)}{\Gamma\left(\frac n2+r\right)},$$где $n$ – число степеней свободы, а $\lambda$ – параметр нецентральности. При $\lambda=0$ эта плотность совпадает с плотностью обычного (центрального) хи-квадрат распределения. Характеристическая функция нецентрального $\chi^2$-распределения выражается формулой

$$\varphi(t)=(1-2it)^{-n/2}\exp\left\{\frac{\lambda it}{1-2it}\right\};$$математическое ожидание и дисперсия равны соответственно $n+\lambda$ и $2(n+2\lambda)$. Нецентральное $\chi^2$-распределение принадлежит классу безгранично делимых распределений.

Обычно нецентральное $\chi^2$-распределение появляется как распределение суммы квадратов независимых случайных величин $X_1,\ldots,X_n$, имеющих нормальное распределение с отличными от нуля средними $m_i$ и единичными дисперсиями, точнее, сумма $X_1^2+\ldots+X_n^2$ имеет нецентральное $\chi^2$-распределение с $n$ степенями свободы и параметром нецентральности $\lambda=\displaystyle\sum_{i=1}^nm_i^2$. Сумма нескольких взаимно независимых случайных величин с нецентральным $\chi^2$-распределением имеет распределение этого же типа, и его параметры суть суммы соответствующих параметров слагаемых.

Если число $n$ чётное, то функция распределения нецентрального $\chi^2$-распределения $F_n(x; \lambda)$ (всегда равная нулю при $x\leqslant 0$) при $x>0$ равна

$$F_n(x;\lambda)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{k=m+\frac 12}^\infty\frac{\left(\frac\lambda2\right)^2\left(\frac x2\right)^k}{m!k!}e^{-\frac{\lambda+x}2}.$$Эта формула устанавливает связь между нецентральным $\chi^2$-распределением и распределением Пуассона. Именно, если $X$ и $Y$ имеют распределения Пуассона с параметрами $\dfrac x2$ и $\dfrac\lambda2$ соответственно, то для любого целого $s>0$

$$\mathsf{P}\{X-Y\geqslant s\}=F_{2s} (x;\lambda).$$Нецентральное $\chi^2$-распределение часто возникает в задачах математической статистики, посвящённых исследованию мощности критериев типа хи-квадрат. Так как существующие таблицы нецентрального $\chi^2$-распределения недостаточно полны, то в статистических приложениях широко используют различные приближения с помощью $\chi^2$-распределения и нормального распределения.