Ме́тод Ри́мана (метод Римана – Вольтерры), метод решения задачи Гурса и задачи Коши для линейных гиперболического типа уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными$$\begin{gathered} L u \equiv u_{x y}+a(x, y) u_{x}+b(x, y) u_{y}+c(x, y) u= \\ =f(x, y). \tag{1} \end{gathered}$$B методе Римана фундаментальную роль играет функция Римана $R=R(x, y ; \xi, \eta)$, которая при определённых предположениях относительно заданных функций $a, b, c$ и $f$ однозначно определяется как решение специальной задачи Гурса:$$\begin{aligned} &R(\xi, y ; \xi, \eta)=\exp \int_{\eta}^{y} a(\xi, t)\, d t; \\ &R(x, \eta ; \xi, \eta)=\exp \int_{\xi}^{x} b(t, \eta)\, dt \end{aligned}$$для сопряжённого уравнения$$L^{*} R = R_{x y}-\frac{\partial}{\partial x}(a, R)-\frac{\partial}{\partial y}(b R)+c R=0.$$Функция $R$ по переменным $\xi, \eta$ является решением однородного уравнения$$R_{\xi \eta}+a(\xi, \eta) R_{\xi}+b(\xi, \eta) R_{\eta}+c(\xi, \eta) R=0.$$При $a=b=0$, $c=\operatorname{const}$ функция $R=J_{0}(\sqrt{4 c(x-\xi)(y-\eta)})$, где $J_{0}(z)$ – функция Бесселя порядка нуль.

Функцию Римана можно определить как решение нагруженного интегрального уравнения Вольтерры:$$\begin{gathered} R(x, y ; \xi, \eta)-\int_{\eta}^{y} a(x, \tau) R(x, \tau; \xi, \eta)\, d \tau- \\ -\int_{\xi}^{x} b(t, y) R(t, y ; \xi, \eta)\, d t+ \\ +\int_{\xi}^{x} d t \int_{\eta}^{y} c(t, \tau) R(t, \tau ; \xi, \eta)\, d \tau=1. \end{gathered} \tag{2}$$Метод Римана решения задачи Гурса реализуется следующим образом: для любой дифференцируемой до соответствующего порядка функции $u=u(x, y)$ имеет место тождество$$\begin{aligned} &\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}[u R(x, y; \xi, \eta)]- R(x, y ; \xi, \eta) L u= \\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left[u\left(\frac{\partial R}{\partial y}-a R\right)\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[u\left(\frac{\partial R}{\partial x}-b R\right)\right], \end{aligned}$$из которого интегрированием по частям получается, что любое решение $u$ уравнения (1) представляет собой решение нагруженного интегрального уравнения:$$\begin{gathered} u(x, y)= R\left(x, y_{0} ; x, y\right) u\left(x, y_{0}\right)+ \\ +R\left(x_{0}, y ; \xi, y\right) u\left(x_{0}, y\right)- R\left(x_{0}, y_{0}; x, y\right)+ \\ +\int_{x_{0}}^{x}\left[b\left(t, y_{0}\right) R\left(t, y_{0} ; x, y\right)-\frac{\partial R\left(t, y_{0}; x, y\right)}{\partial t}\right] \times \\ \times u\left(t, y_{0}\right)\, d t + \int_{y_{0}}^{y}\left[a\left(x_{0}, \tau\right) R\left(x_{0}, \tau; x, y\right)-\right. \\ \left.\quad-\frac{\partial R\left(x_{0}, \tau; x, y\right)}{\partial \tau}\right] u\left(x_{0}, \tau\right)\, d \tau+ \\ +\int_{x_{0}}^{x} d t \int_{y_{0}}^{y} R(t, \tau ; x, y) f(x, \tau)\, d \tau,\,\, x>x_{0},\,\, y>y_{0}. \end{gathered} \tag{3}$$Из (3) непосредственно вытекает корректность задачи Гypca$u\left(x, y_{0}\right)=\varphi(x),\quad u\left(x_{0}, y_{0}\right)=\psi(y),\quad \varphi\left(x_{0}\right)=\psi\left(y_{0}\right)$

для уравнения (1).

Метод Римана приводит решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными на любой гладкой нехарактеристической кривой к нахождению функции Римана и даёт возможность в квадратурах выписать решение этой задачи.

Метод Римана обобщён на широкий класс линейных гиперболических уравнений и систем.

Для случая гиперболического типа системы линейных уравнений с частными производными 2-го порядка$$u_{x x}-u_{y y}+a(x, y) u_{x}+b(x, y) u_{y}+c(x, y) u=f(x, y),$$где $a, b, c$ – заданные действительные квадратные симметрические матрицы порядка $m$, $f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)$ – заданный, a $u=\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)$ – искомый векторы, матрица Римана однозначно определяется как решение системы нагруженных интегральных уравнений Вольтерры вида (2), в правой части которой стоит единичная матрица $I$ порядка $m$.

B. Вольтерра впервые обобщил метод Римана на волновое уравнение$$u_{x x}+u_{y y}-u_{t t}=f(x, y, t). \tag{4}$$Роль функции Римана, позволяющей выписать в квадратурах решение задачи Коши с начальными данными на плоскости $t= \operatorname{const}$ и задачи Гурса с данными на характеристическом конусе для уравнения (4), играет функция$$R=\log \left[\sqrt{\frac{(t-\tau)^{2}}{r^{2}}-1} +\frac{\tau-t}{r}\right],$$где $r^{2}=(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}$.

Метод предложен Б. Риманом (1860).