Ме́тод Бернште́йна (метод вспомогательных функций), метод, применяемый в теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Состоит в введении некоторых новых (вспомогательных) функций, зависящих от искомого решения и позволяющих устанавливать для этого решения априорные оценки максимума модуля производных требуемого порядка.

Простым примером применения метода Бернштейна является априорная оценка модуля производных решения задачи Дирихле для нелинейного (квазилинейного) эллиптического уравнения$$\left.\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}&=f\left(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) \equiv a\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+2 b \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}+\\&\quad+c\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 +2 d \frac{\partial z}{\partial x}+2 e \frac{\partial z}{\partial y}+g \text { в круге } D, \end{aligned}\right\} \tag{$*$}$$$$\left.z\right|_C=0,$$где $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $g$ – гладкие функции от $x$, $y$, $z$; $C$ – окружность, граница круга $D$ с радиусом $R$ (предположение о том, что $D$ – круг, а $\left.z\right|_C=0$, не существенно, ибо общий случай произвольной односвязной области и неоднородного граничного условия легко приводятся к рассматриваемому случаю с помощью замены функции и конформного преобразования области).

Если $f_z^{\prime} \geqslant 0$, то оценка максимума модуля $n$$$\underset{(x, y) \in D+C}{n=\max }|z(x, y)|$$решения задачи (*) сразу получается из принципа максимума.

Для доказательства существования регулярного решения задачи $(*)$ достаточно иметь априорные оценки максимума модуля производных решения до 3-го порядка (см. в статье Метод продолжения по параметру). Для оценки $\underset{C}\max \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|$ и $\underset{C} \max \left|\frac{\partial z}{\partial y}\right|$ достаточно оценить $\underset{C} \max \frac{\partial z}{\partial \rho}$ (т. к. $\left.z\right|_C=0$), $\rho$, $\theta$ – полярные координаты в круге $D$. Пусть введена новая (вспомогательная) функция $u$ по формуле$$z=\varphi_1(u)=-n-\alpha+\alpha \ln u,$$где $\alpha>0$ будет выбрано позже. Функция $u=u(x, y)$ изменяется от $e$ до $e^{(2 n+\alpha) / \alpha}$ и в том же направлении, что и $z(x, y)(-n \leqslant z \leqslant n)$. Так как$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\alpha}{u} \frac{\partial u}{\partial x}, \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\alpha}{u} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\alpha}{u^2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2, \end{gathered}$$и аналогично для производных по $y$, то $u$ удовлетворяет уравнению:$$\begin{gathered} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{1}{u}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]+ \frac{\alpha}{u}\left[a\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-2 b \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}+c\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]+\\+ 2 d \frac{\partial u}{\partial x}+2 e \frac{\partial u}{\partial y}+g \frac{u}{\alpha} \equiv Q. \end{gathered}$$Пусть $M$ – верхняя грань $|a|$,$|b|$,$|c|$ в $D$, а $\alpha=1 / 8 M$.

Если рассматривать $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}$ как текущие координаты на плоскости, а $x$, $y$, $z$ как параметры, то уравнение $Q=0$ есть уравнение эллипса, т. к. определитель $a_1 c_1-b_1^2>3 / 4 u^2$, где$$a_1=\frac{1}{u}\left(1+\frac{a}{8 M}\right), \quad b_1=\frac{b}{8 M u}, \quad c_1=\frac{1}{u}\left(1+\frac{c}{8 M}\right).$$Таким образом, $Q$ при любых $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}$ не меньше некоторого отрицательного числа $-P$, $Q \geqslant-P$ (число $P$ легко указать в явном виде). Если ввести функцию $u_1$ по формуле$$u_1=u+\frac{P}{4}\left(x^2+y^2\right),$$то$$\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2}=Q+P \geqslant 0$$и $u_1$ достигает максимума на границе $C$ области $D$, а т. к. $u_1$ постоянна на $C$, то$$\frac{\partial u_1}{\partial \rho} \geqslant 0 \quad \text { и } \quad \frac{\partial u}{\partial \rho} \geqslant-\frac{1}{2} P R,$$$R$ – радиус окружности $C$. Отсюда может быть найдена отрицательная нижняя грань для $\frac{\partial z}{\partial \rho}$:$$\frac{\partial z}{\partial \rho}=\frac{\alpha}{u} \frac{\partial u}{\partial \rho} \geqslant-\frac{\alpha P R}{2 e^{(n+\alpha) / \alpha}}.$$Применение тех же рассуждений к другой вспомогательной функции $u$ –$$z=\varphi_2(u)=-n-\alpha+\alpha \ln \frac{1}{1-u}$$– позволяет получить оценку сверху:$$\frac{\partial z}{\partial \rho} \leqslant \frac{\alpha P_1 R}{2} e^{(n+\alpha) / 2}.$$Таким образом, оценивается $\underset{C}{\max }\left|\frac{\partial z}{\partial \rho}\right|$, а значит, и $\underset{C} \max \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|$, и $\underset{C} \max \left|\frac{\partial z}{\partial y}\right|$. Оценка максимума модуля первых производных внутри области $D$ проводится аналогично: вводится вспомогательная функция $u$ по формуле$$z=\varphi_3(u)=-n+\alpha \ln \ln u.$$Функция $u$ изменяется в том же направлении, что и $z$, от $e$ до $e^{e^{2 n / \alpha}}$. Для $u$ из (*) следует:$$\begin{gathered} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{1}{u \ln u}\left[(1+\ln u+\alpha a)\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+2 \alpha b \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} +\right. \\ \left.+ (1+\ln u+\alpha c)\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] +2 d \frac{\partial u}{\partial x}+2 e \frac{\partial u}{\partial y}+g \frac{u \ln u}{\alpha} \equiv Q_1. \end{gathered}$$Рассуждения, подобные приведённым, показывают, что если функция$$w=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$$достигает максимума в области $D$, то этот максимум не превосходит некоторого числа, зависящего лишь от $n$ и $M$. Это даёт требуемую оценку $\underset{D}{\max }\left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|$ и $\underset{D} \max \left|\frac{\partial z}{\partial y}\right|$.

Метод Бернштейна позволяет аналогичным образом оценить и максимум модуля в области $D+C$ всех старших производных решения [при этом дополнительно надо лишь дифференцировать исходное уравнение $(*)$].

Метод впервые применён С. Н. Бернштейном (Bernstein. 1906; 1910). В дальнейшем метод Бернштейна развивался и систематически употреблялся при изучении различных задач для эллиптических и параболических дифференциальных операторов (Ладыженская. 1964; Погорелов. 1951; Олейник. 1961).