Лине́йное дифференциа́льное уравне́ние в ба́наховом простра́нстве, уравнение вида$$A_0(t)\dot u = A_1(t)u+g(t),\tag{1}$$где $A_0(t)$, $A_1(t)$ при каждом $t$ – линейные операторы в банаховом пространстве $E$, $g(t)$ – заданная, а $u(t)$ – искомая функции со значениями в $E$; производная $\dot u$ понимается как предел по норме $E$ разностного отношения.

Линейное дифференциальное уравнение с ограниченным оператором

Пусть $A_0(t)$ и $A_1(t)$ при каждом $t$ – ограниченные операторы, действующие в $E$. Если оператор $A_0(t)$ имеет при каждом $t$ ограниченный обратный, то уравнение $(1)$ разрешается относительно производной и принимает вид$$\dot u = A(t)u + f(t),\tag{2}$$где $A(t)$ – ограниченный оператор в пространстве $E$, $f(t)$ и $u(t)$ – функции со значениями в $E$. Если функции $A(t)$ и $f(t)$ непрерывны (или, более общо, измеримы и интегрируемы на каждом конечном промежутке), то решение задачи Коши:$$\dot u = A(t)u,\quad u(s) = u_0,\tag{3}$$существует при любом $u_0\in E$ и задаётся формулой$$u(t) = U(t,s)u_0,$$где$$U(t,s) = I +\int_s^t A(t_1) dt_1 + \sum_{n=2}^\infty \int_s^t \int_s^{t_n} \dots \int_s^{t_2} A(t_n) \dots A(t_1) dt_1 \dots dt_n \tag{4}$$– эволюционный оператор уравнения $\dot u = A(t)u$. Решение задачи Коши для уравнения $(2)$ определяется по формуле:$$u(t) = U(t,s)u_0 +\int_s^t U(t,\tau) f(\tau)d\tau.$$Из $(4)$ вытекает оценка$$\| U(t,s)\|\le \exp{\Big\{ \int_s^t \|A(\tau)\|d\tau \Big\}}, \tag{5}$$её уточнение$$\| U(t,s)\|\le \exp{\Big\{ \int_s^t r_A(\tau)\,d\tau \Big\}}, \tag{5'}$$где $r_A(\tau)$ – спектральный радиус оператора $A(\tau)$. Эволюционный оператор обладает свойствами$$U(s,s) = I,\quad U(t,\tau) U(\tau,s) = U(t,s), \quad U(t,\tau) = [U(\tau,t)]^{-1}.$$Основное внимание при изучении уравнения $(2)$ уделяется поведению его решений на бесконечности в зависимости от поведения $A(t)$ и $f(t)$. При этом важной характеристикой уравнения является генеральный (или особый) показатель$$\varkappa = \underset{\tau, s\to \infty}{\overline{\rm lim}}\ \frac{1}{\tau} {\rm ln}\, \|U(\tau+s,s)\|.$$Детально изучены уравнения с периодическими и почти периодическими коэффициентами.

Уравнение $(2)$ можно рассматривать и в комплексной плоскости. Если функции $A(t)$ и $f(t)$ голоморфны в односвязной области, содержащей точку $s$, то формулы $(3)$, $(4)$, $(5)$, $(5')$ остаются в силе, если под интегралами понимать интегралы по спрямляемому пути, соединяющему $s$ и $t$.

Ряд других вопросов возникает в случае, когда исходное линейное уравнение неразрешимо относительно производной. Если оператор $A_0(t)$ ограниченно обратим всюду, за исключением одной точки, например $t=0$, то уравнение в пространстве $E$ приводится к виду$$a(t)\dot u = A(t)u+f(t),\tag{6}$$где $a(t)$ – скалярная функция и $a(0)= 0$. Здесь основное внимание уделяется изучению поведения решений в окрестности нуля, при этом различаются аналитический и неаналитический случаи.

Аналитический случай. Для простейшего уравнения$$t\dot u = Au$$с постоянным оператором $A$ эволюционный оператор $U(t) = U(t,0)$ имеет вид$$U(t) = e^{A\,{\rm ln}\, t},$$решения неоднозначны: при обходе вокруг нуля в положительном направлении они умножаются на оператор $e^{2\pi i A}$.

Если для уравнения с регулярной особенностью$$t\dot u = \Big(\sum_{k=0}^\infty A^{(k)} t^{(k)}\Big) u,\tag{7}$$где ряд справа сходится в окрестности нуля, оператор $U(t)$ искать в виде ряда$$U(t) = \Big(\sum_{k=0}^\infty U^{(k)} t^{(k)}\Big) e^{A^{(0)} {\rm ln}\, t},$$то для определения коэффициентов $U^{(k)}$ получается система уравнений$$\begin{gathered} A^{(0)} U^{(0)} - U^{(0)}A^{(0)}=0,\\ (A^{(0)} - kI) U^{(k)} - U^{(k)}A^{(0)} = -\sum_{j=1}^k A^{(j)}u^{(k-j)},\quad k=1,2,\dots. \end{gathered}$$Для разрешимости этой системы, т. е. формальной разрешимости уравнения (7), достаточно, чтобы спектры операторов $A^{(0)}$ и $A^{(0)}-kI$ не пересекались или, что то же, чтобы в спектре оператора $A^{(0)}$ не было точек, отличающихся на целое число. При этом условии ряд$$\sum_{k=0}^\infty U^{(k) t^k}$$сходится в той же окрестности нуля, что и ряд для $A(t)$. Если теперь имеется конечное число целых чисел, представимых в виде разностей точек спектра оператора $A^{(0)}$, и каждое из них является изолированной точкой спектра трансформатора$$\mathfrak A X = A^{(0)} X - X A^{(0)},$$то существует решение вида$$U(t) = \Big( I+\sum_{k=1}^\infty U_k({\rm ln}\, t) t^k\Big) e^{A^{(0)} {\rm ln}\, t}, \quad 0<|t|<\rho,$$где $U_k$ – целые функции аргумента ${\rm ln}\, t$, удовлетворяющие при каждом $\varepsilon > 0$ условию$$\| U_k({\rm ln}\, t)\| \le C_\varepsilon e^{\varepsilon |{\rm ln}\, t|}.$$Если целые точки спектра трансформатора $\mathfrak A$ являются полюсами его резольвенты, то функции $U_k$ – многочлены.

В случае иррегулярной особенности рассмотрено дифференциальное уравнение$$t^m \dot u = \Big( \sum_{k=0}^{m-1} A^{(k)} t^k\Big) u$$в банаховой алгебре $\mathfrak B$ (например, в алгебре ограниченных операторов в банаховом пространстве $E$). При некоторых ограничениях на оператор $A^{(0)}$ оно с помощью интегралов Лапласа сводится к уравнению с регулярной особенностью ($m= 1$) в алгебре матриц с элементами из алгебры $\mathfrak B$.

Неаналитический случай. Пусть в уравнении$$t^n \dot u = A(t) u + f(t),\quad 0\le t\le T,$$функции $A(t)$ и $f(t)$ бесконечно дифференцируемы. В конечномерном случае получен исчерпывающий результат; если уравнение имеет формальное решение в виде степенного ряда, то оно имеет бесконечно дифференцируемое на $[0, Т]$ решение, для которого формальный ряд является рядом Тейлора в точке $t= 0$. В бесконечномерном случае имеется лишь ряд достаточных условий для существования бесконечно дифференцируемых решений.

Пусть $m > 1$. Если спектр оператора $A(0)$ не пересекается с мнимой осью, то существует семейство бесконечно дифференцируемых решений, зависящее от произвольного элемента $g^-$, принадлежащего инвариантному подпространству оператора $A(0)$, отвечающему части спектра $A(0)$, лежащей в левой полуплоскости. Любое непрерывное на $[0, T]$ решение входит в это семейство. Если весь спектр $A(0)$ лежит в левой полуплоскости, то существует только одно бесконечно дифференцируемое решение.

Пусть $m=1$. Если отрицательные целые числа не принадлежат спектру оператора $A(0)$, то существует единственное бесконечно дифференцируемое решение. В аналогичных предположениях относительно оператора $A(0)$ рассмотрены уравнения вида $(6)$, в которых $a(t)$ и $f(t)$ имеют конечную гладкость и такой же гладкостью обладают решения.

Своеобразная картина возникает, когда дифференциальное уравнение неразрешимо относительно производной при всех $t$, например когда $A$ – постоянный необратимый оператор. Пусть в уравнении $$A\dot u = B u \tag{8}$$операторы $A$ и $B$ – ограниченные в пространстве $E$, оператор $A$ необратим и фредгольмов. Предполагается, что оператор $A+\varepsilon B$ непрерывно обратим при достаточно малых $\varepsilon$. Тогда существуют такие разложения в прямые суммы $E = N^{(1)}+ M^{(1)}$ и $E = N^{(2)}+ M^{(2)}$, что операторы $A$ и $B$ отображают $N^{(1)}$в $N^{(2)}$ и $M^{(1)}$ в $M^{(2)}$. Оператор $A$ обратим на $M^{(1)}$ и отображает на $M^{(2)}$. Подпространство $N^{(1)}$ конечномерно. Все решения уравнения $(8)$ лежат в подпространстве $M^{(1)}$ и имеют вид $\exp{(\widetilde{A}^{-1} Bt)}u_0$, где $\widetilde A$ – сужение $A$ на $M^{(1)}$, $u_0\in M^{(1)}$. Для неоднородного уравнения $A\dot u = Bu+f(t)$ решение существует только при определённой гладкости $f(t)$ и некоторых условиях согласования значений $f(t)$ и её производных с начальными данными. Количество производных, которые должны иметь некоторые компоненты $f(t)$, и количество условий согласования равны максимальной длине $B$-присоединённых цепочек оператора $A$. При выполнении указанных условий решение задачи Коши единственно.

Если оператор $A+\varepsilon B$ необратим при всех $\varepsilon$, то все решения уравнения (8) лежат в подпространстве, имеющем, вообще говоря, бесконечный дефект. Решение задачи Коши для него будет неединственным. От функции $f(t)$ в неоднородном уравнении требуется бесконечное число условий дифференцируемости и условий согласования.

Линейное дифференциальное уравнение с неограниченным оператором

Пусть $A_0(t)$ обратим при каждом $t$, так что уравнение $(1)$ разрешается относительно производной и принимает вид$$\dot u = A(t)u+f(t),\tag{9}$$и пусть здесь $A(t)$ – неограниченный оператор в пространстве $E$ с плотной в $E$ областью определения $D(A(t))$, имеющий непустое резольвентное множество, $f(t)$ – заданная, a $u(t)$ – искомая функции со значениями в $E$.

Даже для простейшего уравнения $\dot u = Au$ с неограниченным оператором решения задачи Коши $u(0) = u_0$ могут не существовать, могут быть неединственными, могут быть непродолжимыми на всю полуось, поэтому основные исследования посвящены вопросам существования и единственности решений. Под решением уравнения $\dot u = Au$ на отрезке $[0,T]$ понимается функция, принимающая значения в $D(A)$, дифференцируемая на $[0, T]$ и удовлетворяющая уравнению. Иногда это определение является слишком жёстким и вводится понятие ослабленного решения, как функции, обладающей теми же свойствами на $(0, T]$, а в точке $0$ лишь непрерывной.

Пусть оператор $A$ имеет резольвенту$$R(\lambda, A) = (A-\lambda I)^{-1}$$при всех достаточно больших положительных $\lambda$, и$$\underset{\lambda\to\infty}{\overline{\rm lim}}\ \lambda^{-1}\, {\rm ln}\,\|R(\lambda, A)\| = h<T.$$Тогда ослабленное решение задачи$$\dot u = Au,\quad u(0) = u_0 \tag{10}$$единственно на отрезке $[0, T-h]$ и может разветвляться при $t= T-h$. Если $h = 0$, то решение единственно на всей полуоси. В смысле поведения $R(\lambda, A)$ при $\lambda\to\infty$ это утверждение является точным.

Если при каждом $u_0\in D(A)$ существует единственное непрерывно дифференцируемое на $[0, T]$ решение задачи $(10)$, то это решение продолжается на всю полуось и представимо в виде $u(t) = U(t)u_0$, где $U(t)$ – сильно непрерывная на $[0, \infty)$ полугруппа ограниченных операторов, $U(0)=I$, для которой справедлива оценка $\|U(t)\|\le M e^{\omega t}$. Для того чтобы уравнение обладало таким свойством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства$$\|(\lambda -\omega)^m R^m (\lambda, A)\| \le M\tag{11}$$при всех $\lambda>\omega$ и $m= 1, 2, \dots$, где $M$ не зависит от $\lambda$ и $m$. Эти условия трудно проверяемы. Они выполнены, если $\|(\lambda-\omega)R(\lambda, A)\|\le 1$ и тогда $\| U(t)\|\le e^{\omega t}$. Если ещё $\omega=0$, то $U(t)$ – полугруппа сжатий. Это будет тогда и только тогда, когда $A$ – максимальный диссипативный оператор. При $u_0\not\in D(A)$ функция $U(t)u_0$ не будет дифференцируемой (во всяком случае при $t= 0$), её часто называют обобщённым решением уравнения $(10)$. Решения уравнения $\dot u = Au$ можно строить как предел при $n\to\infty$ решений уравнений $\dot u = A_n u$ с ограниченными операторами при тех же начальных условиях. Для этого достаточно, чтобы операторы $A_n$ коммутировали, сильно сходились к $A$ на $D(A)$ и$$\| e^{t A_n}\|\le Me^{\omega t}.$$При выполнении условий $(11)$ этими свойствами обладают операторы $A_n = - nI-n^2 R(\lambda, A)$ (операторы Иосиды).

Другой метод построения решений уравнения $\dot u = Au$ основан на преобразовании Лапласа. Если резольвента оператора $A$ определена на некотором контуре $\Gamma$, то функция$$u(t) = -\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma e^{\lambda t} R(\lambda, A) u_0 \,d\lambda \tag{12}$$формально удовлетворяет уравнению$$\dot u = Au +\frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma e^{\lambda t}\, d\lambda u_0.$$Если обеспечить сходимость интегралов, законность дифференцирования под знаком интеграла и обращения в нуль последнего интеграла, то $u(t)$ будет удовлетворять уравнению. Трудность состоит в том, что норма резольвенты не может на бесконечности убывать быстрее, чем $|\lambda|^{-1}$. Однако на некоторых элементах она убывает быстрее. Например, если $R(\lambda, A)$ определена при ${\rm Re}\, \lambda\ge \alpha$ и$$\| R(\lambda, A)\|\le M |\lambda|^k,\quad k\ge -1,$$при достаточно больших $|\lambda|$, то для $\Gamma = (-i\infty, i\infty)$ формула $(12)$ даёт решение для любого $u_0\in D (A^{[k]+3})$. В более «плохом» случае, когда предыдущее неравенство выполнено лишь в области$${\rm Re}\,\lambda \ge \alpha |{\rm Im}\,\lambda|^a,\quad 0<a<1$$(слабо гиперболическое уравнение), и $\Gamma$ – граница этой области, получается решение лишь для $u_0$, принадлежащих пересечению областей определения всех степеней оператора $A$, с определённым поведением $\|A^n u_0\|$ при $n\to\infty$.

Значительно больше ослабленных решений получается в том случае, когда $\Gamma$ уходит в левую полуплоскость и можно использовать убывание на нём функции $|e^{\lambda t}|$. При этом, как правило, решения обладают повышенной гладкостью при $t>0$. Если резольвента ограничена на контуре $\Gamma: {\rm Re}\lambda = -\psi (|{\rm Im}\lambda|)$, где $\psi(\tau)$ – гладкая неубывающая вогнутая функция, растущая на $\infty$ как ${\rm ln}\tau$, то функция $(12)$ при любом $u_0\in E$ становится дифференцируемой и удовлетворяет уравнению, начиная с некоторого $t_0$, с дальнейшим увеличением $t$ её гладкость повышается. Если $\psi(\tau)$ растёт как степень $\tau$ с показателем, меньшим единицы, то функция $(12)$ бесконечно дифференцируема при $t >0$; если $\psi(\tau)$ растёт как $\tau/{\rm ln}\tau$, то $u(t)$ принадлежит квазианалитическому классу функций; если растёт как линейная функция, то $u(t)$ – аналитична. Во всех этих случаях она удовлетворяет уравнению $\dot u = Au$.

Существование резольвенты на контурах, уходящих в левую полуплоскость, можно, пользуясь разложением в ряд, получить из соответствующих оценок на вертикальных прямых. Если при ${\rm Re}\lambda\ge\gamma$ $$\| R(\lambda,A)\|\le M(1+|{\rm Im}\lambda|)^{-\beta},\quad 0<\beta<1,\tag{13}$$то для каждого $u_0\in D(A)$ существует решение задачи $(10)$. Все эти решения бесконечно дифференцируемы при $t>0$. Они представляются в виде $u(t)=U(t)u_0$, где $U(t)$ – бесконечно дифференцируемая полугруппа при $t>0$ , имеющая, вообще говоря, особенность при $t= 0$. Для её производных справедливы оценки$$\| U^{(k)} (t)\|\le M_k t^{1-(k+1)/\beta} e^{\omega t}.$$Если оценка $(13)$ выполнена при $\beta = 1$, то все обобщённые решения уравнения $\dot u =Au$ аналитичны в некотором секторе, содержащем положительную полуось.

Уравнение $\dot u=Au$ называется абстрактным параболическим, если существует единственное ослабленное решение на $[0, \infty]$, удовлетворяющее начальному условию $u(0) = u_0$ при любом $u_0\in E$. Если$$\| R(\lambda, A)\|\le M |\lambda-\omega|^{-1}\quad \text{при}\quad {\rm Re}\lambda>\omega,\tag{14}$$то уравнение является абстрактным параболическим. Все его обобщённые решения аналитичны в некотором секторе, содержащем положительную полуось, и справедливо неравенство$$\| u(t)\| \le t^{-1} Ce^{\omega t}\|u_0\|,$$где $C$ не зависит от $u_0$. Обратно, если уравнение обладает перечисленными свойствами, то для оператора $A$ выполнено $(14)$.

Если задача $(10)$ имеет единственное ослабленное решение при любом $u_0\in D(A)$ , производная которого суммируема на каждом конечном интервале, то эти решения представимы в виде $u(t)=U(t)u_0$, где $U(t)$ – сильно непрерывная полугруппа на $(0, \infty)$, а всякое ослабленное решение неоднородного уравнения $\dot v = Av+f(t)$ с нулевым начальным условием $u(0) = u_0$ представимо в виде$$v(t) = \int_0^t U(t-s)f(s) ds.\tag{15}$$Функция $v(t)$ определена при любой непрерывной $f(t)$, поэтому она называется обобщённым решением неоднородного уравнения. Для того чтобы обеспечить её дифференцируемость, на функцию $f(t)$ налагаются условия гладкости, и тем «больше», чем «хуже» полугруппа $U(t)$. Так, в предыдущих условиях $(15)$ будет ослабленным решением неоднородного уравнения, если $f(t)$ дважды непрерывно дифференцируема; если выполнено $(11)$, то $(15)$ будет решением, если $f(t)$ непрерывно дифференцируема; если выполнено $(13)$ при $\beta>2/3$, то $v(t)$ будет ослабленным решением, если $f(t)$ удовлетворяет условию Гёльдера с показателем $\gamma>2\Big(\frac{1}{\beta}-1\Big)$. Вместо гладкости $f(t)$ по $t$ можно требовать принадлежность значений $f(t)$ области определения соответствующей степени оператора $А$.

Для уравнения с переменным оператором$$\dot u = A(t)u,\quad 0\le t\le T,\tag{16}$$имеется несколько основных теорем существования и единственности решений (ослабленных решений) задачи Коши $u(s)=u_0$ на отрезке $s\le t\le T$. Если область определения $A(t)$ не зависит от $t$:$$D(A(t)) \equiv D(A),$$оператор $A(t)$ сильно непрерывен по $t$ на $D(А)$ и $$\|\lambda R(\lambda, A(t))\|\le 1$$при $\lambda>0$, то решение задачи Коши единственно. Если, кроме того, $A(t)$ сильно непрерывно дифференцируем на $D(А)$, то при всяком $u_0\in D(A)$ решение существует и представимо в виде$$u(t)=U(t,s)u_0,$$где $U(t, s)$ – эволюционный оператор со свойствами:

1) $U (t, s)$ сильно непрерывен в треугольнике $T_\triangle$: $0\le s\le t\le T$;

2) $U(t, s)=U(t , \tau)U(\tau, s)$, $0\le s\le \tau\le t\le T$, $U(s, s)=I$;

3) $U (t, s)$ отображает $D(А)$ в себя и оператор$$A (t)U(t, s)A^{-1}(s)$$ограничен и сильно непрерывен в $T_\triangle$;

4) на $D(A)$ оператор $U (t, s)$ сильно дифференцируем по $t$ и $s$ и $$\frac{\partial U}{\partial t} = A(t) U,\quad \frac{\partial U}{\partial s} = - U A(s).$$Конструирование оператора $U (t, s)$ проводится путем аппроксимации оператора $A(t)$ ограниченными операторами $A_n(t)$ и заменой последних кусочно постоянными операторами.

Предыдущие условия на оператор $A(t)$ во многих важных задачах не выполняются. Пусть для оператора $A(t)$ существуют такие константы $M$ и $\omega$, что$$\| R(\lambda, A(t_k)) R(\lambda, A(t_{k-1}))\dots R(\lambda, A(t_1))\|\le M(\lambda-\omega)^k$$для всех $\lambda>\omega$, $0\le t_1\le \dots\le t_k\le T$, $k = 1, 2,\dots$. Пусть в пространстве $E$ плотно вложено банахово пространство $F$, содержащееся во всех $D(A(t))$, и обладающее свойствами: а) оператор $A(t)$ ограниченно действует из $F$ в $E$ и непрерывен по $t$ по норме ограниченных операторов из $F$ в $E$; б) существует изоморфизм $S$ пространства $F$ на пространство $E$ такой, что$$SA(t) S^{-1} = A(t) + B(t),$$где $B(t)$ – ограниченная в $E$ сильно измеримая операторная функция, для которой $\| B(t)\|$ интегрируема на $[0, T]$. Тогда существует эволюционный оператор $U(t, s)$, обладающий свойствами 1), 2), 3'), $U(t, s)F \subset F$ и $U (t, s)$ сильно непрерывен в $F$ на $T_\triangle$, 4') на $F$ оператор $U(t, s)$ сильно дифференцируем в смысле нормы $E$ и $\frac{\partial U}{\partial t}= A(t) U$, $\frac{\partial U}{\partial s} = -UA(s)$. Сформулированное утверждение позволило получить теоремы существования для основных квазилинейных уравнений математической физики гиперболического типа.

В теории параболических уравнений применяется метод замороженных коэффициентов. Предполагается, что при каждом $t_0\in [0 , T]$ уравнению $\dot u = A(t_0)u$ отвечает полугрупповой оператор $U_{A(t_0)} t$. Искомый эволюционный оператор формально удовлетворяет интегральным уравнениям$$\begin{gathered} U(t,s) = U_{A(t)}(t-s) + \int_s^t U_{A(t)} (t-s) [A(\tau)-A(t)] U(\tau,s)\, d\tau,\\ U(t,s) = U_{A(s)} (t-s) + \int_s^t U(t,\tau)[A(\tau)-A(s)] U_{A(s)} (\tau-s)\,d\tau. \end{gathered}$$В условиях, когда ядра этих уравнений имеют слабые особенности, доказывается существование их решения и то, что $U(t, s)$ является эволюционным оператором. Наибольшие приложения нашло утверждение: если$$D(A(t)) \equiv D(A),\quad \| R(\lambda, A(t))\|<M(1+|\lambda|)^{-1}$$при ${\rm Re}\lambda \ge 0$ и$$\| [A(t)-A(s)]A^{-1}(0)\| \le C |t-s|^\rho$$(условие Гёльдера), то существует эволюционный оператор $U(t,s)$, дающий при каждом $u_0\in E$ ослабленное решение $U(t,s)u_0$ задачи Коши. Единственность решения имеется при условии лишь непрерывности оператора $A(t)A^{-1}(0)$ (в гильбертовом пространстве). Теорема существования, аналогичная приведённой выше, справедлива для оператора $A(t)$ с условием типа $(13)$ при определённом соотношении между $\beta$ и $\rho$.

Предположение о постоянстве $D(A(t))$ не позволяет в приложениях рассматривать краевые задачи с граничными условиями, зависящими от $t$. Пусть выполнено$$\begin{gathered} \| R(\lambda, A(t))\| \le M (1+|\lambda|)^{-1},\quad {\rm Re}\,\lambda>0; \\ \Big\| \frac{dA^{-1}(t)}{dt} - \frac{dA^{-1}(s)}{ds}\Big\| \le K |t-s|^\alpha, \quad 0<\alpha\le 1; \\ \Big\|\frac{\partial}{\partial t} R(\lambda, A(t))\Big\| \le N |\lambda|^{\rho-1},\quad 0\le \rho<1, \end{gathered}$$в секторе $|{\rm arg}\lambda|\le \pi-\varphi$, $\varphi<\pi/2$, тогда существует эволюционный оператор $U (t, s)$. Здесь постоянство $D(A(t))$ не предполагается. Имеется вариант последнего утверждения, приспособленный к рассмотрению параболических задач в нецилиндрических областях, в котором $D (A(t))$ при каждом $t$ лежит в некотором подпространстве $E(t)$ пространства $E$.

Оператор $U(t, s)$ для уравнения $(16)$ формально удовлетворяет интегральному уравнению$$U(t,s) = I + \int_s^t A(\tau) U(\tau,s)\, d\tau.\tag{17}$$В силу неограниченности оператора $A(t)$ это уравнение нельзя решить методом последовательных приближений. Пусть имеется семейство банаховых пространств $E_\alpha$, $0 \le \alpha\le 1$, обладающее свойством: $E_\beta\subset E_\alpha$ и $\|x\|_\alpha \le \|x\|_\beta$ при $\alpha < \beta$. Предполагается, что оператор $A(t)$ ограничен как оператор из $E_\beta$ в $E_\alpha$:$$\| A(t)\|_{E_\beta \to E_\alpha} \le C(\beta-\alpha)^{-1}$$и $A(t)$ непрерывен по $t$ по норме пространства ограниченных операторов из $E_\beta$ в $E_\alpha$. Тогда в этом пространстве метод последовательных приближений для уравнения $(17)$ будет сходиться при $|t-s|\le (\beta-\alpha)(Ce)^{-1}$. Таким образом локально строится оператор $U(t, s)$ как ограниченный оператор из $E_\beta$ в $E_\alpha$. В приложениях этот подход даёт теоремы типа Коши – Ковалевской.

Для неоднородного уравнения $(9)$ при известном эволюционном операторе для уравнения $\dot u = A(t)u$ решение задачи Коши формально записывается в виде $$u(t) = U(t,s)u_0 + \int_s^t U(t,\tau) f(\tau) d\tau.$$В различных случаях при той или иной гладкости $f(t)$ эта формула допускает обоснование.