Краева́я зада́ча тео́рии потенциа́ла, основная задача теории потенциала – как классической, так и абстрактной. Поскольку классические ньютонов и логарифмические потенциалы удовлетворяют определённым дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптического типа, а именно уравнению Лапласа в областях, свободных от порождающих эти потенциалы масс, и уравнению Пуассона в областях, занятых массами, к числу краевых задач теории потенциала относят в первую очередь краевые задачи для эллиптических уравнений и систем.

1) Задача Дирихле, или первая краевая задача, когда требуется найти потенциал $u(x)$ в некоторой области $D$ по заданным его непрерывным значениям $u(x)=f(x)$, $x \in \Gamma$, на границе области $\partial D=\Gamma$, причём распределение масс внутри $D$ предполагается известным. Эта задача в теории потенциала является основной.

2) Задача Неймана, или вторая краевая задача, когда требуется найти потенциал в $D$ по заданным непрерывным значениям его нормальной производной

$$\frac{\partial u(x)}{\partial n}=\varphi(x)\; \text { на }\; \Gamma.$$3) Смешанная задача, или третья краевая задача, когда на $\Gamma$ задаётся линейная комбинация

$$\frac{\partial u(x)}{\partial n}+\alpha(x) u(x)=\psi(x),\quad x \in \Gamma. \tag{*}$$4) Задача с косой производной, когда на $\Gamma$ в условии (*) вместо производной по нормали $\partial u(x) / \partial n$ к $\Gamma$ фигурирует производная $\partial u(x) / \partial l$ по произвольному, вообще говоря, направлению $l=l(x)$, $x \in \Gamma$.

Кроме перечисленных общих задач, в теории потенциала возникли также следующие специфические проблемы.

1) Задача Робена, когда на $\Gamma$ ищется такое распределение масс, потенциал которого $u(x)$ постоянен внутри области $D$. Эта задача возникает как электростатическая проблема определения такого равновесного распределения зарядов на проводнике $\Gamma$, которое ничем не проявляет себя внутри $D$.

2) Метод выметания, который в своём простейшем изложении, ведущем начало от А. Пуанкаре, состоит в отыскании такого распределения масс на границе $\Gamma$, потенциал которого в дополнительной области $C \bar{D}$ совпадал бы с потенциалом данных «выметаемых» масс, расположенных внутри $D$.

В абстрактной теории потенциала две последние задачи имеют особенно большое значение.

См. также Бесселев потенциал, Нелинейный потенциал, Потенциал Рисса.