Гипергеометрическое распределение
Гипергеометри́ческое распределе́ние, дискретное распределение вероятностей, заданное формулой:
где , и – целые неотрицательные числа и , (здесь – биномиальный коэффициент). Гипергеометрическое распределение обычно связано с выбором без возвращения, а именно: формула (*) указывает вероятность получения ровно «отмеченных» элементов в случайной выборке объёма из генеральной совокупности, содержащей элементов, среди которых «отмеченных» и «неотмеченных» элементов. При этом вероятность (*) определена лишь для
Однако определение (*) можно использовать при всех , т. к. можно считать, что при , поэтому равенство нужно понимать как невозможность получить в выборке «отмеченных» элементов. Сумма значений , распространённая на всё выборочное пространство, равна . Если обозначить , то (*) можно переписать в иной форме:
где
Если постоянна и , то имеет место биномиальное приближение
Математическое ожидание гипергеометрического распределения не зависит от и совпадает с математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения. Дисперсия геометрического распределения
не превосходит дисперсии биномиального закона . При моменты любого порядка геометрического распределения стремятся к соответствующим значениям моментов биномиального распределения. Производящая функция геометрического распределения имеет вид:
Ряд в правой части представляет собой гипергеометрическую функцию , где , , (этому обстоятельству распределение обязано своим названием). Вероятность (*) и соответствующая функция распределения табулированы в широких пределах.