Фо́рмула Рю – Такаяна́ги, фундаментальная формула в голографическом соответствии, которая устанавливает равенство между квантовой информацией и геометрией, отождествляя энтропию запутанности в конформной теории поля и классическую геометрию соответствующего двойственного асимптотически антидеситтеровского (АдС) пространства.

Формула названа в честь Рю Синсэя и Такаянаги Тадаси, опубликовавших данную формулу в виде гипотезы в 2006 г. (Ryu. 2006). За это открытие авторы были удостоены премии «Новые горизонты физики» 2015 г. «за фундаментальные идеи об энтропии в квантовой теории поля и квантовой гравитации».

Обобщение данной формулы, известное как формула Рангамани – Такаянаги – Хубени, было дано в 2007 г. (Hubeny. 2007). В 2013 г. Х. Малдасеной, Т. Фолкнером и А. Левковичем была предложена версия формулы Рю – Такаянаги на случай, учитывающий лидирующие поправки по количеству степеней свободы системы ($1/N$-поправки), обобщённая в 2015 г. на случай поправок произвольной степени (Engelhardt. 2015) (см. Формула Левковича – Малдасены – Фолкнера).

Для асимптотически АдС-пространства $X$ (являющегося решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной и материей, удовлетворяющим условию энергодоминантности) c конформной границей $\partial X$ (где согласно голографическому предписанию определяется двойственная конформная теория) и фиксированной области $A$ на этой границе определяется гиперповерхность коразмерности 2 специального вида – поверхность Рю – Такаянаги $\gamma_A.$ Данная гиперповерхность имеет общую границу с $A,$ гомологична $A$ и имеет экстремальную площадь (в случае существования нескольких поверхностей, удовлетворяющим таким условиям, предполагается, что поверхностью Рю – Такаянаги называется обладающая наименьшей площадью).

Формула Рю – Такаянаги устанавливает связь между энтропией запутанности $S(A)$ соответствующей области $A$ и площадью $\Gamma_A$ поверхности Рю – Такаянаги $\gamma_A$:

$$S(A)=\frac{\Gamma_A}{4G},$$где $G$ – гравитационная постоянная.

Формула Рю – Такаянаги позволяет производить вычисления энтропии запутанности $S(A)$ в голографических теориях (т. е. теориях с сильным взаимодействием и большим числом степеней свободы) путём вычисления площади соответствующих экстремальных классических поверхностей, в то время как вычисление $S(A)$ методами канонической квантовой теории зачастую аналитически невозможно. Наиболее хорошо формула Рю – Такаянаги и её обобщения исследованы для случая трёхмерной гравитации, когда гравитационная постоянная $G$ связана с радиусом анти-де Ситтера $L$ и центральным зарядом $c$ двойственной двумерной конформной теории поля: $$G=\frac{3L}{2c}.$$Известно, что голографические двумерные конформные теории поля соответствуют пределу большого центрального заряда. С физической точки зрения центральный заряд соответствует количеству степеней свободы в теории (например свободные безмассовые двумерные фермионы Майораны имеют $c=1/2,$ безмассовые фермионы Дирака имеют $c=1$), и поэтому предел большого центрального заряда часто называют «пределом большого числа степеней свободы». Простейший пример использования формулы Рю – Такаянаги (в трёхмерном АдС-пространстве) корректно воспроизводит энтропию запутанности в двумерной конформной теории поля, когда $A$ является отрезком длины $\ell$:$$S(A)=\frac{c}{3}\log \frac{\ell}{\varepsilon}.$$В данном случае поверхность Рю – Такаянаги является геодезической в пространстве анти-де Ситтера, концы которой находятся на концах интервала $A.$