Энтропи́я запу́танности (энтропия зацепленности), фундаментальная величина, характеризующая квантовоинформационные свойства различных квантовых систем. В кубитных системах или системах с фиксированным небольшим количеством частиц вычисление энтропии запутанности является прямолинейным и исходит из её определения. Однако для многих систем важны пространственные размеры системы. В реальном мире такие системы описываются квантовыми полями или многочастичными квантовыми системами (и их полевыми моделями). В случаях когда квантовая система описывается теорией поля, энтропия запутанности в ней вычисляется относительно разбиения физического пространства, где определена система, на подобласть $A$ и её дополнение $\bar A$ (в таком случае говорят об энтропии запутанности области $A$). Зачастую $A$ называется областью запутанности. Исследуя энтропию запутанности в квантовой теории, можно количественно исследовать распределение квантовой информации в физическом пространстве, её возможную динамику.

Исследование энтропии запутанности в квантовой теории поля было начато в работах Ф. Вилчека (Holzhey. 1994), М. Средницкого (Srednicki. 1993) и др. На данный момент аналитически энтропия запутанности в замкнутом виде может быть вычислена только в узком классе квантовых теорий поля. Новый виток исследований энтропии запутанности в квантовой теории поля начался после открытия в 2006 г. формулы Рю – Такаянаги, обнаружившей глубокую связь между квантовой гравитацией и физикой такой энтропии (Ryu. 2006).

Репличный трюк и энтропия запутанности

Ныне один из основных аналитических способов вычисления энтропии запутанности – использование т. н. репличного трюка. Репличный трюк заключается в представлении энтропии запутанности области $A$$$S(A)=-\operatorname{Tr}_A\left(\rho_A\log \rho_A\right)$$в виде предела $n$-й степени приведённой матрицы плотности $\rho_A:$ $$S(A)=-\lim _{n \rightarrow 1} \frac{\log \operatorname{Tr}_A\left(\rho_A^n\right)}{n-1}=-\lim _{n \rightarrow 1} \partial_n \operatorname{Tr}_A\left(\rho_A^n\right).$$Чтобы перейти от теории, описываемой полной матрицей плотности $\rho,$ к теории, описываемой степенью приведённой матрицы плотности $\rho_A^n,$ необходимо перейти от геометрии $X$ (соответствующей матрице плотности $\rho$), на которой берётся интеграл по траекториям, к геометрии нового пространства $X_n$ – репличной геометрии пространства $X.$ Явным образом $X_n$ представляют из себя $n$ копий ($n$-листное накрытие) пространства $X,$ на каждой из копий $X$ на месте $A$ определён разрез и $n$-я копия отождествлена с $(n-1)$-й копией вдоль этого разреза. Пример, соответствующий $\rho_A^3$ в случае когда $A$ – отрезок некоторой фиксированной длины, схематично изображён на рисунке. Здесь каждая копия пространства $X$ вдоль разреза по $A$ склеена с каждой последующей копией.

Примеры

Вычисление энтропии запутанности в квантовой теории поля аналитическими методами доступно только для ограниченных классов теорий. Наиболее широкий класс результатов доступен для безмассовых свободных теорий поля (например, свободные фермионы), а также шире – для двумерных теорий с конформной симметрией. В таких теориях поля ряд аналитических результатов доступен даже для неравновесных матриц плотности (теории после проективных измерений, локальные и глобальные квенчи и др.).

Выделенным также является класс двумерных конформных теорий поля – т. н. голографические теории поля, соответствующие пределу большого центрального заряда и некоторым специальным ограничениям на операторный состав таких теорий. Известно, что они являются голографическим двойником трёхмерной гравитации Эйнштейна. В голографических конформных теориях поля вычисление энтропии запутанности подчиняется формуле Рю – Такаянаги и позволяет вычислять энтропию запутанности областей сложной конфигурации и топологии. В общей двумерной конформной теории поля широко известна формула для энтропии запутанности отрезка длины $\ell:$$$S(A)=\frac{c}{3}\log \frac{\ell}{\varepsilon},$$полученный для произвольной конформной теории поля Дж. Карди и П. Калабрезе. Здесь $c$ является центральным зарядом теории, а $\varepsilon$ – произвольная константа, соответствующая расходимости в ультрафиолетовых степенях свободы.