Дифференциа́л Фреше́ в точке $x_0$ отображения $f: X \rightarrow Y$ нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$, отображение $h \longrightarrow D\left(x_0, h\right)$, являющееся линейным и непрерывным отображением из $X$ в $Y$ и обладающее тем свойством, что$$\tag{1}f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+D\left(x_0, h\right)+\varepsilon(h),$$где$$\lim _{\|h\| \rightarrow 0}\|\varepsilon(h)\| /\|h\|=0.$$Если отображение $f$ в точке $x_0$ допускает разложение (1), то оно называется дифференцируемым по Фpeшe, а сам оператор$$f^{\prime}\left(x_0\right) h=D\left(x_0, h\right),\quad f^{\prime}\left(x_0\right) \in L(X, Y),$$называется производной Фреше.

Для функции $f$ конечного числа переменных дифференциала Фреше – линейная функция$$h \rightarrow \sum_{i=1}^n \alpha_i h_i=l_{x_0} h,$$обладающая тем свойством, что$$\tag{2}f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+l_{x_0}(h)+o(|h|),$$где $|h|=\left(\sum_{i=1}^n h_i^2\right)^{1 / 2}$ или любая другая равносильная норма в $\mathbb{R}^n$. При этом $\alpha_i=\frac{\partial f\left(x_0\right)}{\partial x_i}$ – частные производные функции $f$ в точке $x_0$.

Определение (2), являющееся ныне общепринятым, впервые в явной форме появилось, по-видимому, в лекциях К. Вейерштрасса (1861, см. Dugас. 1972). В конце 19 в. это определение постепенно входит в учебники (см. Stоlz. 1893; Young. 1910 и др.). Однако к моменту, когда М. Фреше (см. Fréchet. 1911; 1912) начал разработку бесконечномерного анализа, классическое ныне определение дифференциала было настолько необщепринятым, что и сам М. Фреше полагал, что определённый им дифференциал на бесконечномерном пространстве является новым понятием и в конечномерном случае. В настоящее время термин употребляется лишь при рассмотрении бесконечномерных отображений. См. в статьях Дифференциал Гато, Дифференцирование отображения.