Этальные когомологии

Эта́льные когомоло́гии, когомологии пучков в этальной топологии. Они определяются стандартным образом при помощи производных функторов. А именно: пусть ${\displaystyle X}$ – схема и ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ – этальная топология на ${\displaystyle X}$. Тогда категория пучков абелевых групп на ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных объектов. Функтор ${\displaystyle \Gamma }$ глобальных сечений точен слева, и его производные функторы ${\displaystyle {\mathcal {F}}\longmapsto H^{q}(X,{\mathcal {F}})}$ (где ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок абелевых групп на ${\displaystyle X_{\text{еt}}}$) называются функторами когомологий. При этом ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma ({\mathcal {F}})={\mathcal {F}}(X)}$. Аналогично определяются высшие прямые образы ${\displaystyle R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})}$ пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ относительно морфизма ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$; для них имеет место аналог спектральной последовательности Лере. Если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок неабелевых групп, удаётся определить множество ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {F}})}$ (см. Неабелевы когомологии).

Наиболее важные результаты в теории этальных когомологий получены для конструктивных этальных пучков абелевых групп. Центральный из них – теорема конечности и замены базы: пусть ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ – собственный морфизм, и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – конструктивный пучок на ${\displaystyle X}$. Тогда пучки ${\displaystyle R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})}$ конструктивны и слой ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}}$ в геометрической точке ${\displaystyle y\longrightarrow Y}$ изоморфен группе когомологий ${\displaystyle H^{q}\left(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}\right)}$ слоя ${\displaystyle f^{-1}(y)=X\times _{Y}y}$. Аналогичные теоремы верны для любого морфизма конечного типа, если использовать когомологии с компактными носителями.

Если ${\displaystyle X}$ – алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем, то для любого конструктивного пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ когомологии с компактными носителями ${\displaystyle H_{c}^{q}(X,{\mathcal {F}})}$ конечны и равны ${\displaystyle 0}$ при ${\displaystyle q>2\operatorname {dim} X}$. Если к тому же ${\displaystyle X}$– аффинное многообразие, то ${\displaystyle H^{q}(X,{\mathcal {F}})=0}$ для ${\displaystyle q>\operatorname {dim} X}$.

Для многообразий над полем комплексных чисел этальные когомологии конструктивных пучков совпадают с классическими когомологиями со значениями в этих пучках. Справедлива теорема о специализации для гладкого морфизма: пусть ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ – гладкий собственный морфизм схем и целое число ${\displaystyle n}$ обратимо на ${\displaystyle Y}$; тогда пучки ${\displaystyle R^{q}f_{*}(\mathbb {Z} /_{n}\mathbb {Z} )}$ локально постоянны на ${\displaystyle Y}$.

Для этальных когомологий имеют место аналог двойственности Пуанкаре и формулы Кюннета. Каждый алгебраический цикл коразмерности ${\displaystyle i}$ даёт класс когомологий в размерности ${\displaystyle 2i}$, что позволяет построить теорию классов Чженя.

Этальные когомологии конструктивных пучков используются для построения l-адических когомологий и доказательства гипотез Вейля о дзета-функции.