Инъективный объект

Инъекти́вный объе́кт, такой объект ${\displaystyle I}$ абелевой категории ${\displaystyle C}$, что для каждого мономорфизма ${\displaystyle \alpha :A^{\prime }\rightarrow A}$ отображение

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(A,I)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{C}\left(A^{\prime },I\right),\quad {\text{ где }}\quad \varphi \longmapsto \varphi \circ \alpha }$

является сюръективным. Всякий инъективный подобъект ${\displaystyle I}$ объекта ${\displaystyle A}$ выделяется прямым слагаемым. Произведение инъективных объектов – всегда инъективный объект. В случае, когда каждый объект в ${\displaystyle C}$ изоморфен подобъекту некоторого инъективного объекта категории ${\displaystyle C}$, говорят, что ${\displaystyle C}$ – категория c достаточно многими инъективными объектами (такова, например, категория Гротендика). В этих категориях объект инъективен тогда и только тогда, когда он выделяется прямым слагаемым из любого объекта, его содержащего. Для объектов таких категорий можно строить резольвенты, состоящие из инъективных объектов (инъективные резольвенты), что позволяет развивать в этих категория гомологическую алгебру.

В локально нётеровых категориях (см. в статье Топологизированная категория) прямая сумма инъективных объектов является инъективным объектом, а каждый инъективный объект изоморфен прямой сумме неразложимых инъективных объектов, и это представление однозначно (Gabriel. 1962). Если ${\displaystyle C}$ – категория модулей над нётеровым коммутативным кольцом ${\displaystyle \Lambda }$, то неразложимые инъективные модули суть инъективные оболочки полей частных факторколец ${\displaystyle \Lambda /{\mathfrak {p}}}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ – произвольный простой идеал в ${\displaystyle \Lambda }$ (Matlis. 1958).

Примеры: 1) Категория абелевых групп имеет достаточно много инъективных объектов. Таковыми объектами являются полные (делимые) группы.

2) Категория ${\displaystyle C_{\Lambda }}$ правых ${\displaystyle \Lambda }$-модулей содержит достаточно много инъективных объектов (см. в статье Инъективный модуль).

3) Категория пучков модулей на окольцованном топологическом пространстве ${\displaystyle \left(X,O_{X}\right)}$ содержит достаточно много инъективных объектов. Примерами таких инъективных объектов служат пучки ${\displaystyle F}$, все слои которых ${\displaystyle F_{x}}$ являются инъективными ${\displaystyle O_{X,x}}$-модулями. В случае, когда ${\displaystyle \left(X,O_{X}\right)}$ есть схема, для квазикогерентных ${\displaystyle O_{X,x}}$-модулей верно и обратное утверждение: всякий инъективный объект есть пучок, все слои которого являются инъективными ${\displaystyle O_{X,x}}$-модулями.