Собственный морфизм

Со́бственный морфи́зм, морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем $f:X\to Y$ называется замкнутым, если для любого замкнутого $Z\subset X$ множество $f(Z)$ замкнуто в $Y$ , и универсально замкнутым, если для любой замены базы $Y'\to Y$ замкнут морфизм $X\times _{Y}Y'\to Y'$ . Свойство быть собственным морфизмом сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. Собственные морфизмы близки к проективным морфизмам: любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой собственный морфизм доминируется проективным (лемма Чжоу). См. также Полное алгебраическое многообразие, проективная схема.

Собственные морфизмы обладают рядом хороших когомологических свойств.

1. Если морфизм $f:X\to Y$ собственный и $F$ – когерентный пучок $O_{X}$ -модулей, то для любого $q\geq 0$ пучки $O_{Y}$ -модулей $R^{q}f_{*}(F)$ когерентны (теорема конечности). Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если $X$ – полная схема над полем $k$ , то пространства когомологий $H^{q}(X,F)$ конечномерны.

2. Для любой точки $y\in Y$ пополнение $O_{Y}$ , $y$ -модуля $R^{q}f_{*}(F)_{y}$ совпадает с

{\underset {\underset {n}{\longleftarrow }}{\operatorname {lim} }}\,H^{q}(f^{-1}(y),F/J^{n+1}F),

где $J$ – идеал подсхемы $f^{-1}(y)$ в $X$ (теорема о сравнении).

3. Если $X$ – собственная схема над полным локальным кольцом $A$ , то категории когерентных пучков на $X$ и на её формальном пополнении ${\widehat {X}}$ эквивалентны (теорема алгебраизуемости). Существуют аналитические аналоги первого и третьего свойств. Например (см. Revêtements étales et groupe fondamental, 1971): для полной $\mathbb {C}$ -схемы $X$ любой аналитический когерентный пучок на $X(\mathbb {C} )$ алгебраизуем и

H^{q}(X,F)=H^{q}(X(\mathbb {C} ),F^{\text{ан}})

.

4. Пусть $f:X\to Y$ – собственный морфизм, $F$ – пучок конечных абелевых групп в этальной топологии $X$ , $\xi$ – геометрическая точка схемы $Y$ ; тогда слой пучка $R^{q}f_{*}(F)$ в точке $\xi$ изоморфен $H^{q}(f^{-1}(\xi ),F{\big |}_{f^{-1}\xi })$ (теорема о замене базы, см. Thèorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1972–1973^[1]).

↑ Théorie des topos et cohomologie étale des schémas : séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963/64 - SGA 4 / dir. par M. Artin [et al.]. – 2. éd. – Berlin ; New York, Springer-Verlag, 1972–1973. – (Lecture notes in mathematics).

Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes // Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. – 1961. – T. 8. – P. 5–222.
Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique : III. Étude cohomologiquedes faisceaux cohérents. Première partie // Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. – 1961. – T. 11. – P. 5–167.
Revêtements étales et groupe fondamental / ed. par A. Grothendieck, M. Raynaud. – Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 1971. – (Lecture Notes in Mathematics ; 244).
Théorie des topos et cohomologie étale des schémas : séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963/64 - SGA 4 / dir. par M. Artin [et al.]. – 2. éd. – Berlin ; New York, Springer-Verlag, 1972–1973. – 3 vol. – (Lecture notes in mathematics).
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. – Москва : Мир, 1981.

[1] Théorie des topos et cohomologie étale des schémas : séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963/64 - SGA 4 / dir. par M. Artin [et al.]. – 2. éd. – Berlin ; New York, Springer-Verlag, 1972–1973. – (Lecture notes in mathematics).

[1]

Собственный морфизм

Примечания

Литература