Абелева категория

А́белева катего́рия, категория, обладающая рядом характерных свойств категории всех абелевых групп. Абелевы категории были введены как основа абстрактного построения гомологической алгебры (см. Гротендик. 1961^[1]). Категория ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ называется абелевой (Freyd. 1964^[2]), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

А0. Существует нулевой объект.

А1. Каждый морфизм обладает ядром и коядром.

А2. Каждый мономорфизм является нормальным мономорфизмом; каждый эпиморфизм является нормальным эпиморфизмом.

А3. Для каждой пары объектов существуют произведение и копроизведение.

Часто в определении абелевой категории дополнительно предполагается, что ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – локально малая слева категория. Для абелевой категории это предположение равносильно локальной малости справа и, следовательно, локальной малости. Копроизведение объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ абелевой категории называется также прямой суммой этих объектов и обозначается ${\displaystyle A\oplus B}$ или ${\displaystyle A+B}$.

Примеры абелевых категорий:

1) Категория, двойственная абелевой категории, также является абелевой категорией.

2) Категория ${\displaystyle {}_{R}{\mathfrak {M}}}$ всех левых унитарных модулей над произвольным ассоциативным кольцом ${\displaystyle R}$ с единицей и всех ${\displaystyle R}$-модульных гомоморфизмов является абелевой категорией (например, категория всех абелевых групп).

3) Всякая полная подкатегория абелевой категории, содержащая вместе с каждым морфизмом его ядро и коядро и вместе с каждой парой объектов ${\displaystyle A,B}$ – их произведение и копроизведение, есть абелева категория.

Все малые абелевы категории исчерпываются подкатегориями указанного типа категорий ${\displaystyle {}_{R}{\mathfrak {M}}}$ левых унитарных модулей, а именно, справедлива следующая теорема Митчелла: для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в некоторую категорию ${\displaystyle {}_{R}{\mathfrak {M}}}$.

4) Всякая категория диаграмм ${\displaystyle {\mathfrak {F}}({\mathfrak {D}},{\mathfrak {A}})}$ со схемой ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ над абелевой категорией ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ является абелевой категорией. В схеме ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ можно выделить множество ${\displaystyle C}$ соотношений коммутативности, т. е. множество пар ${\displaystyle (\varphi ,\psi )}$ путей ${\displaystyle \varphi =\left(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right)}$, ${\displaystyle \psi =\left(\psi _{1},\ldots ,\psi _{m}\right)}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ с общими началом и концом. Тогда полная подкатегория категории ${\displaystyle {\mathfrak {F}}({\mathfrak {D}},{\mathfrak {A}})}$, порождённая всеми такими диаграммами ${\displaystyle {\ce {D:{\mathfrak {D}}->{\mathfrak {A}}}}}$, что

${\displaystyle D(\varphi )=D\left(\varphi _{1}\right)\ldots D\left(\varphi _{n}\right)=D\left(\psi _{1}\right)\ldots D\left(\psi _{m}\right)=D(\psi )}$,

является абелевой категорией. В частности, если ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ – малая категория, а множество ${\displaystyle C}$ состоит из всех пар вида ${\displaystyle (\alpha \beta ,\gamma )}$, где ${\displaystyle \gamma =\alpha \beta }$, то соответствующая подкатегория является абелевой категорией одноместных ковариантных функторов из ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

Пусть в малой категории ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ есть нулевой объект; функтор ${\displaystyle {\ce {F:{\mathfrak {C}}->{\mathfrak {A}}}}}$ называется нормализованным, если он переводит нулевой объект в нулевой объект. Полная подкатегория категории функторов, порождённая нормализованными функторами, является абелевой категорией. B частности, если ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ – категория, объектами которой служат все целые числа и нулевой объект N, а ненулевые неединичные морфизмы образуют последовательность

${\displaystyle {\ce {\ldots ->(-1){\stackrel {d_{-1}}{->}}0{\stackrel {d_{0}}{->}}1{\stackrel {d_{1}}{->}}2->\ldots }}}$,

в которой ${\displaystyle d_{n}d_{n+1}=0}$, ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$, то соответствующая подкатегория, порождаемая нормализованными функторами, называется категорией комплексов над ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. В категории комплексов определяются аддитивные функторы ${\displaystyle Z^{n},B^{n},H^{n}}$ соответственно ${\displaystyle n}$-мерных циклов, ${\displaystyle n}$-мерных граней и ${\displaystyle n}$-мерной гомологии со значениями в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ и на их основе развивается аппарат гомологической алгебры.

5) Полная подкатегория ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$ абелевой категории называется плотной, если она содержит подобъекты и факторобъекты своих объектов и если в точной последовательности

${\displaystyle {{\ce {0 -> A -> B -> C -> 0}}}}$

${\displaystyle B\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}^{\prime }}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A,C\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}^{\prime }}$. Факторкатегория ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/{\mathfrak {A}}^{\prime }}$ строится следующим образом. Пусть ${\displaystyle (R,\mu ]}$ – подобъект прямой суммы ${\displaystyle A\oplus B}$ с проекциями ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$, и пусть квадрат

коуниверсален (т. е. является корасслоенным произведением). Подобъект ${\displaystyle (R,\mu ]}$ называется ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$-подобъектом, если ${\displaystyle \operatorname {Coker} \mu \pi _{1}}$, ${\displaystyle \operatorname {Ker} {\boldsymbol {\beta }}\in {\mathfrak {A}}^{\prime }}$. Два ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$-подобъекта эквивалентны, если они содержат некоторый ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$-подобъект. Множеcтво ${\displaystyle H_{{\mathfrak {H}}/{\mathfrak {H}}{\prime }}(A,\,B)}$ состоит по определению из класса эквивалентных ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$-подобъектов. Обычное умножение бинарных отношений согласовано с введённой эквивалентностью, что позволяет построить факторкатегорию ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/{\mathfrak {A}}{}^{\prime }}$, являющуюся абелевой категорией. Точный функтор ${\displaystyle {\ce {T:{\mathfrak {A}}->{\mathfrak {A}}/{\mathfrak {A}}{}^{\prime }}}}$ определяется coпoставлением каждому морфизму ${\displaystyle {{\ce {\alpha: A -> B}}}}$ его графика в ${\displaystyle A\oplus B}$. Подкатегория ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$ называется подкатегорией локализации, если функтор ${\displaystyle T}$ обладает полным унивалентным сопряжением справа функтором ${\displaystyle {\ce {Q:{\mathfrak {A}}/{\mathfrak {A}}^{\prime }->{\mathfrak {A}}}}}$.

6) Для всякого топологического пространства ${\displaystyle X}$ категория левых ${\displaystyle G}$-модулей над ${\displaystyle X}$, где ${\displaystyle G}$ – пучок колец с единицей над ${\displaystyle X}$, является абелевой категорией.

Во всякой абелевой категории ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ можно ввести частичное суммирование морфизмов таким образом, что ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ станет аддитивной категорией. Поэтому в абелевой категории произведение и копроизведение любой пары объектов совпадают. Более того, в определении абелевой категории можно предполагать существование либо произведений, либо копроизведений. Всякая абелева категория есть бикатегория с единственной бикатегорной структурой. Перечисленные свойства характеризуют абелеву категорию: категория ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ с конечными произведениями является абелевой тогда и только тогда, когда она аддитивна и когда всякий морфизм ${\displaystyle \alpha }$ имеет ядро и коядро и разлагается в произведение

${\displaystyle \alpha ={\text{Coker}}\,(\operatorname {ker} \alpha )\,\theta \,\operatorname {ker} \,({\text{Coker }}\alpha )}$,

в котором ${\displaystyle \theta }$ – изоморфизм.

Приведённая выше теорема Митчелла обосновывает метод «диаграммного поиска» в абелевой категории: всякое утверждение о коммутативных диаграммах, справедливое во всех категориях левых модулей ${\displaystyle {}_{R}{\mathfrak {M}}}$ и вытекающее из точности некоторых последовательностей морфизмов, справедливо во всех абелевых категориях.

В локально малой абелевой категории ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$-подобъекты любого объекта образуют дедекиндову решётку. Если в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ существуют произведения (или копроизведения) любого семейства объектов, то эта решётка и оказывается полной. Перечисленные условия заведомо выполняются, если в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ имеется образующий объект ${\displaystyle U}$ и существуют копроизведения

${\displaystyle \prod _{i\in I}^{*}U_{i},\quad U_{i}=U}$

для любого множества ${\displaystyle I}$. Таковы, например, категории Гротендика, эквивалентные факторкатегориям категорий модулей по подкатегориям локализации (теорема Габриеля – Попеску).