Формула Рю – Такаянаги

Фо́рмула Рю – Такаяна́ги, фундаментальная формула в голографическом соответствии, которая устанавливает равенство между квантовой информацией и геометрией, отождествляя энтропию запутанности в конформной теории поля и классическую геометрию соответствующего двойственного асимптотически антидеситтеровского (АдС) пространства.

Формула названа в честь Рю Синсэя и Такаянаги Тадаси, опубликовавших данную формулу в виде гипотезы в 2006 г. (Ryu. 2006^[1]). За это открытие авторы были удостоены премии «Новые горизонты физики» 2015 г. «за фундаментальные идеи об энтропии в квантовой теории поля и квантовой гравитации».

Обобщение данной формулы, известное как формула Рангамани – Такаянаги – Хубени, было дано в 2007 г. (Hubeny. 2007^[2]). В 2013 г. Х. Малдасеной, Т. Фолкнером и А. Левковичем была предложена версия формулы Рю – Такаянаги на случай, учитывающий лидирующие поправки по количеству степеней свободы системы (${\displaystyle 1/N}$-поправки), обобщённая в 2015 г. на случай поправок произвольной степени (Engelhardt. 2015^[3]) (см. Формула Левковича – Малдасены – Фолкнера).

Для асимптотически АдС-пространства ${\displaystyle X}$ (являющегося решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной и материей, удовлетворяющим условию энергодоминантности) c конформной границей ${\displaystyle \partial X}$ (где согласно голографическому предписанию определяется двойственная конформная теория) и фиксированной области ${\displaystyle A}$ на этой границе определяется гиперповерхность коразмерности 2 специального вида – поверхность Рю – Такаянаги ${\displaystyle \gamma _{A}}$. Данная гиперповерхность имеет общую границу с ${\displaystyle A}$, гомологична ${\displaystyle A}$ и имеет экстремальную площадь (в случае существования нескольких поверхностей, удовлетворяющим таким условиям, предполагается, что поверхностью Рю – Такаянаги называется обладающая наименьшей площадью).

Формула Рю – Такаянаги устанавливает связь между энтропией запутанности ${\displaystyle S(A)}$ соответствующей области ${\displaystyle A}$ и площадью ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ поверхности Рю – Такаянаги ${\displaystyle \gamma _{A}}$:

${\displaystyle S(A)={\frac {\Gamma _{A}}{4G}}}$,

где ${\displaystyle G}$ – гравитационная постоянная.

Формула Рю – Такаянаги позволяет производить вычисления энтропии запутанности ${\displaystyle S(A)}$ в голографических теориях (т. е. теориях с сильным взаимодействием и большим числом степеней свободы) путём вычисления площади соответствующих экстремальных классических поверхностей, в то время как вычисление ${\displaystyle S(A)}$ методами канонической квантовой теории зачастую аналитически невозможно. Наиболее хорошо формула Рю – Такаянаги и её обобщения исследованы для случая трёхмерной гравитации, когда гравитационная постоянная ${\displaystyle G}$ связана с радиусом анти-де Ситтера ${\displaystyle L}$ и центральным зарядом ${\displaystyle c}$ двойственной двумерной конформной теории поля:

${\displaystyle G={\frac {3L}{2c}}}$.

Известно, что голографические двумерные конформные теории поля соответствуют пределу большого центрального заряда. С физической точки зрения центральный заряд соответствует количеству степеней свободы в теории (например свободные безмассовые двумерные фермионы Майораны имеют ${\displaystyle c=1/2}$, безмассовые фермионы Дирака имеют ${\displaystyle c=1}$), и поэтому предел большого центрального заряда часто называют «пределом большого числа степеней свободы». Простейший пример использования формулы Рю – Такаянаги (в трёхмерном АдС-пространстве) корректно воспроизводит энтропию запутанности в двумерной конформной теории поля, когда ${\displaystyle A}$ является отрезком длины ${\displaystyle \ell }$:

${\displaystyle S(A)={\frac {c}{3}}\log {\frac {\ell }{\varepsilon }}}$.

В данном случае поверхность Рю – Такаянаги является геодезической в пространстве анти-де Ситтера, концы которой находятся на концах интервала ${\displaystyle A}$.