Формула Левковича – Малдасены – Фолкнера

Фо́рмула Ле́вковича – Малдасе́ны – Фо́лкнера, обобщение формулы Рю – Такаянаги, учитывающее определённые поправки за пределами квазиклассической гравитации. Данная формула приводит к отождествлению «квантовой геометрии» и квантовой информации. Названа по именам создателей – Х. Малдасены, А. Левковича и Т. Фолкнера, которые вывели формулу в 2013 г.

Формула Рангамани – Рю – Такаянаги (обобщение формулы Рю – Такаянаги) как часть голографического словаря (Ryu. 2006^[1]) соотносит энтропию запутанности подобласти ${\displaystyle A}$ в дуальной конформной теории поля и площадь экстремальной поверхности ${\displaystyle \gamma _{A}}$ коразмерности 2:

${\displaystyle S_{A}=\min _{\gamma _{A}^{\mathrm {ext} }}\operatorname {ext} _{\gamma _{A}}\left[{\frac {\operatorname {Area} \left(\gamma _{A}\right)}{4G}}\right]}$,

где ${\displaystyle G}$ – гравитационная постоянная, соответствующая дуальной гравитационной теории. Данная формула верна с точностью до порядка по данной константе ${\displaystyle O(1/G)}$.

Дальнейшие поправки даются уже её обобщением – формулой Левковича – Малдасены – Фолкнера (Faulkner. 2013^[2]), учитывающей лидирующие поправки по ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle S_{A}=\min _{\gamma _{A}^{\text{ext}}}\operatorname {ext} _{\gamma _{A}}\left[{\frac {\operatorname {Area} \left(\gamma _{A}\right)}{4G}}\right]+S_{\mathrm {bulk} }\left(\Sigma _{A}\right)}$,

где ${\displaystyle \Sigma _{A}}$ – область коразмерности 1, заключённая между поверхностью Рю – Такаянаги и граничной областью ${\displaystyle A}$ в момент постоянного времени, который содержит эти две области, а ${\displaystyle S_{\text{bulk}}}$ – энтропия фон Неймана квазиклассической матрицы плотности квантовых полей, заключённых в ${\displaystyle \Sigma _{A}}$.

Как и формула Рю – Такаянаги, данная формула также прошла ряд нетривиальных тестов (Agón. 2020^[3]), когда на разных сторонах голографической дуальности (квантовополевой и гравитационной) вычислялись различные наблюдаемые, совпадающие (как и должно быть) при применении любой дуальности.

В 2014 г. Н. Энгельхардт и А. Уоллом была предложена схема вычисления остальных порядков поправок по ${\displaystyle 1/G}$ с использованием понятия «квантовая экстремальная поверхность» (Engelhardt. 2015^[4]).