Энтропия запутанности

Ныне один из основных аналитических способов вычисления энтропии запутанности – использование т. н. репличного трюка. Репличный трюк заключается в представлении энтропии запутанности области ${\displaystyle A}$

${\displaystyle S(A)=-\operatorname {Tr} _{A}\left(\rho _{A}\log \rho _{A}\right)}$

в виде предела ${\displaystyle n}$-й степени приведённой матрицы плотности ${\displaystyle \rho _{A}:}$

${\displaystyle S(A)=-\lim _{n->1}{\frac {\log \operatorname {Tr} _{A}\left(\rho _{A}^{n}\right)}{n-1}}=-\lim _{n->1}\partial _{n}\operatorname {Tr} _{A}\left(\rho _{A}^{n}\right)}$.

Чтобы перейти от теории, описываемой полной матрицей плотности ${\displaystyle \rho }$, к теории, описываемой степенью приведённой матрицы плотности ${\displaystyle \rho _{A}^{n}}$, необходимо перейти от геометрии ${\displaystyle X}$ (соответствующей матрице плотности ${\displaystyle \rho }$), на которой берётся интеграл по траекториям, к геометрии нового пространства ${\displaystyle X_{n}}$ – репличной геометрии пространства ${\displaystyle X}$. Явным образом ${\displaystyle X_{n}}$ представляют из себя ${\displaystyle n}$ копий (${\displaystyle n}$-листное накрытие) пространства ${\displaystyle X}$, на каждой из копий ${\displaystyle X}$ на месте ${\displaystyle A}$ определён разрез и ${\displaystyle n}$-я копия отождествлена с ${\displaystyle (n-1)}$-й копией вдоль этого разреза. Пример, соответствующий ${\displaystyle \rho _{A}^{3}}$ в случае когда ${\displaystyle A}$ – отрезок некоторой фиксированной длины, схематично изображён на рисунке. Здесь каждая копия пространства ${\displaystyle X}$ вдоль разреза по ${\displaystyle A}$ склеена с каждой последующей копией.

Вычисление энтропии запутанности в квантовой теории поля аналитическими методами доступно только для ограниченных классов теорий. Наиболее широкий класс результатов доступен для безмассовых свободных теорий поля (например, свободные фермионы), а также шире – для двумерных теорий с конформной симметрией. В таких теориях поля ряд аналитических результатов доступен даже для неравновесных матриц плотности (теории после проективных измерений, локальные и глобальные квенчи и др.).

Выделенным также является класс двумерных конформных теорий поля – т. н. голографические теории поля, соответствующие пределу большого центрального заряда и некоторым специальным ограничениям на операторный состав таких теорий. Известно, что они являются голографическим двойником трёхмерной гравитации Эйнштейна. В голографических конформных теориях поля вычисление энтропии запутанности подчиняется формуле Рю – Такаянаги и позволяет вычислять энтропию запутанности областей сложной конфигурации и топологии. В общей двумерной конформной теории поля широко известна формула для энтропии запутанности отрезка длины ${\displaystyle \ell :}$

${\displaystyle S(A)={\frac {c}{3}}\log {\frac {\ell }{\varepsilon }}}$,

полученный для произвольной конформной теории поля Дж. Карди и П. Калабрезе. Здесь ${\displaystyle c}$ является центральным зарядом теории, а ${\displaystyle \varepsilon }$ – произвольная константа, соответствующая расходимости в ультрафиолетовых степенях свободы.