Собственный вектор

Со́бственный ве́ктор оператора ${\displaystyle A}$, действующего в векторном пространстве ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle k}$ – ненулевой вектор ${\displaystyle x\in L}$, который переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е.

${\displaystyle Ax=\lambda x,\quad \lambda \in k}$.

Коэффициент ${\displaystyle \lambda \in k}$ называется собственным значением оператора ${\displaystyle A}$.

Если оператор ${\displaystyle A}$ линеен, то множество ${\displaystyle L_{\lambda }}$ всех собственных векторов, отвечающих собственному значению ${\displaystyle \lambda }$ вместе с нулевым вектором, является линейным подпространством. Оно называется собственным подпространством оператора ${\displaystyle A}$, отвечающим собственному значению ${\displaystyle \lambda }$, и совпадает с ядром ${\displaystyle \operatorname {Ker} ({\textrm {A}}-\lambda {\textrm {I}})}$ оператора ${\displaystyle {\textrm {A}}-\lambda {\textrm {I}}}$ (т. е. с множеством векторов, переводимых этим оператором в ${\displaystyle 0}$). Если ${\displaystyle L}$ – топологическое векторное пространство и ${\displaystyle {\textrm {A}}}$ – непрерывный оператор, то ${\displaystyle L_{\lambda }}$ замкнуто для любого ${\displaystyle \lambda }$. Вообще говоря, собственное подпространство не обязано быть конечномерным, но если ${\displaystyle {\textrm {A}}}$ вполне непрерывен (компактен), то ${\displaystyle L_{\lambda }}$ конечномерно для любого ненулевого ${\displaystyle \lambda }$.

В сущности, наличие собственных векторов у операторов в бесконечномерных пространствах – явление довольно редкое, хотя важные для приложений операторы специальных классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами собственных векторов.

Обобщением понятий собственного вектора и собственного подпространства являются понятия корневого вектора и корневого подпространства. У нормальных (в частности, самосопряжённых или унитарных) операторов все корневые векторы являются собственными, и собственные подпространства, отвечающие различным собственным векторам, взаимно ортогональны.