Унитарный оператор

Унита́рный опера́тор, линейный оператор ${\displaystyle U}$, отображающий линейное нормированное пространство ${\displaystyle X}$ на линейное нормированное пространство ${\displaystyle Y}$ и такой, что ${\displaystyle \|Ux\|_{Y}=\|x\|_{X}}$. Наиболее важными являются унитарные операторы, отображающие гильбертово пространство в себя. Такой оператор унитарен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (x,y)=(Ux,Uy)}$ для всех ${\displaystyle x,y\in X}$. Другими характеристическими признаками унитарности оператора ${\displaystyle U:H{\overset {\text{ на}}{\rightarrow }}H}$ являются: 1) ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$, т. е. ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$; 2) спектр оператора ${\displaystyle U}$ лежит на единичной окружности, и имеет место спектральное разложение ${\displaystyle U=\int _{0}^{2\pi }e^{i\varphi }\,dE_{\varphi }}$. Совокупность унитарных операторов, действующих в ${\displaystyle H}$, образует группу.

Примером унитарного оператора и его обратного в пространстве ${\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )}$ являются взаимно обратные преобразования Фурье.