Прямая Зоргенфрея

1. Топология прямой Зоргенфрея является более сильной, чем евклидова (обычная) топология вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, т. е. каждое множество, открытое в обычной топологии на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, открыто и в топологии прямой Зоргенфрея.

2. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ гомеоморфно каждому своему подпространству вида ${\displaystyle [a,b)}$ (отсюда другое название пространства ${\displaystyle \mathbb {S} }$: «стрелка Зоргенфрея» или просто «стрелка»), а также каждому подпространству вида ${\displaystyle (a,b)}$, где ${\displaystyle a<b}$. При этом ${\displaystyle [a,b)}$ является открыто-замкнутым, а ${\displaystyle (a,b)}$ открытым, но не замкнутым подмножеством пространства ${\displaystyle \mathbb {S} }$. Д. Бурке и Дж. Мур (Burke. 1998) показали, что непустое подпространство ${\displaystyle Z}$ прямой Зоргенфрея гомеоморфно ей самой в том и только том случае, если ${\displaystyle Z}$ не имеет изолированных точек и является одновременно ${\displaystyle F_{\sigma }}$- и ${\displaystyle G_{\delta }}$-множеством в ${\displaystyle \mathbb {S} }$.</b<></math>

3. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ хаусдорфово, удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не удовлетворяет второй (вес, и даже сетевой вес пространства ${\displaystyle \mathbb {S} }$ равен мощности континуума), при этом оно наследственно сепарабельно и поэтому неметризуемо.

4. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ сильно нульмерно; любое его компактное подпространство счётно (и нигде не плотно в евклидовой топологии).

5. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ наследственно линделёфово (следовательно, паракомпактно) и совершенно нормально, но квадрат ${\displaystyle \mathbb {S} \times \mathbb {S} }$ не нормален (и тем более не паракомпактен и не линделёфов); тем самым прямая Зоргенфрея представляет собой важный пример, показывающий, что каждое из свойств нормальности, паракомпактности и линделёфовости не является конечно мультипликативным (т. е. не сохраняется конечными топологическими произведениями).

С прямой Зоргенфрея тесно связано топологическое пространство, называемое «две стрелки». Множеством его точек является подмножество ${\displaystyle X=A_{0}\cup A_{1}}$ координатной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, где

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=(0,1]\times \{0\}=\{(x,0):0<x\leqslant 1\},\\A_{1}=[0,1)\times \{1\}=\{(x,1):0\leqslant x<1\},\end{aligned}}}$

а топология порождена базой, состоящей из всевозможных множеств вида

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{ab}=(a,b]\times \{0\}\cup (a,b)\times \{1\}=\{(x,i):a<x<b,\ i=0,1\}\cup \{(b,0)\},\\R_{ab}=(a,b)\times \{0\}\cup [a,b)\times \{1\}=\{(x,i):a<x<b,\ i=0,1\}\cup \{(a,1)\},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle 0\leqslant a<b\leqslant 1}$.

Пространство ${\displaystyle X}$ является неметризуемым компактом с первой аксиомой счётности; каждое из его подпространств ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle A_{1}}$ всюду плотно в нём и гомеоморфно прямой Зоргенфрея. Кроме того, пространство ${\displaystyle X}$ наследственно сепарабельно, наследственно линделёфово, совершенно нормально; при этом его квадрат ${\displaystyle X\times X}$, являясь, как всякий компакт, нормальным пространством, не является наследственно нормальным.

Определение пространства «две стрелки» (неявно содержащее описание прямой Зоргенфрея), было дано П. С. Александровым и П. С. Урысоном (^[1]; рус. пер.: ^[2]). Независимо от Александрова и Урысона (см. об этом Cameron. ^[3]) Р. Зоргенфрей явно определил пространство ${\displaystyle \mathbb {S} }$ в качестве примера паракомпактного пространства, квадрат которого не нормален и тем более не паракомпактен (Sorgenfrey. 1947). После появления этой работы прямая Зоргенфрея стала одним из «универсальных контрпримеров» в общей топологии. Изучение свойств прямой Зоргенфрея и близких к ней пространств в дальнейшем стало предметом многочисленных исследований.