Изолированная точка множества

Изоли́рованная то́чка мно́жества ${\displaystyle A\subset X}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, точка ${\displaystyle x\in A}$, обладающая окрестностью ${\displaystyle U\subset X}$, пересечение которой с множеством ${\displaystyle A}$ состоит из единственной точки ${\displaystyle x}$ (т. е. такой, что ${\displaystyle U\cap A=\{x\}}$). Любая точка множества ${\displaystyle A\subset X}$ топологического пространства является либо его предельной точкой, либо изолированной. Например, точка ${\displaystyle 0}$ является единственной предельной точкой подмножества ${\displaystyle A=\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n=1,2,\ldots \}}$ вещественной прямой; все остальные его точки, т. е. точки вида ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{n}}\right\}}$, являются изолированными.

Изолированность точки ${\displaystyle x}$ подмножества ${\displaystyle A\subset X}$ эквивалентна тому, что одноточечное множество ${\displaystyle \left\{x\right\}}$ открыто в ${\displaystyle A}$ как подпространстве пространства ${\displaystyle X}$. В частности, изолированными точками всего пространства ${\displaystyle X}$ являются в точности те точки ${\displaystyle x\in X}$, для которых одноточечное множество ${\displaystyle \left\{x\right\}}$ открыто в ${\displaystyle X}$. Все точки подмножества ${\displaystyle A\subset X}$ изолированы в том и только в том случае, если пространство ${\displaystyle A}$ (как подпространство пространства ${\displaystyle X}$) дискретно.

Понятие предельной и изолированной точек было введено Г. Кантором.