Континуум

Конти́нуум (лат. continuum – непрерывное, сплошное), объект, обладающий определёнными свойствами непрерывности. Термин «континуум» используется также для обозначения мощности множества действительных чисел.

Наиболее изученным непрерывным объектом в математике является множество действительных чисел, или числовой континуум. Свойства непрерывности множества действительных чисел могут быть охарактеризованы с помощью различных аксиом непрерывности. Если основным понятием считать понятие неравенства${\displaystyle (a<b)}$, то непрерывность числового континуум можно, например, охарактеризовать следующим образом: а) между любыми двумя числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a<b}$, лежит по крайней мере ещё одно число ${\displaystyle c}$, для которого ${\displaystyle a<c<b}$; б) если все числа разбиты на два класса ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ так, что каждое число ${\displaystyle a}$ класса ${\displaystyle A}$ меньше любого числа ${\displaystyle b}$ класса ${\displaystyle B}$, то либо в классе ${\displaystyle A}$ есть наибольшее число, либо в классе ${\displaystyle B}$ есть наименьшее число (аксиома непрерывности Дедекинда).

В топологии свойства непрерывности пространства или любого множества формируются при помощи понятия предельной точки. Множество ${\displaystyle M}$ называется связным, если при любом разбиении его на два непересекающихся непустых подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ найдётся хотя бы одна точка, принадлежащая одному из них и предельная для другого. В евклидовых пространствах топологический континуум можно определить как связное замкнутое ограниченное множество. На числовой прямой единственными континуумами в этом смысле являются отрезки (т. е. множества чисел ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$).

Мощность множества действительных чисел называют мощностью континуума и обозначают готической буквой ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или др.-евр. буквой ${\displaystyle \aleph }$ («алеф»). Каждый топологический континуум имеет ту же мощность ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Известно, что мощность ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ больше мощности ${\displaystyle \aleph _{0}}$ множества натуральных чисел. В решении вопроса, является ли мощность континуума ближайшей, следующей за ${\displaystyle \aleph _{0}}$ мощностью, заключается проблема континуума.