Открыто-замкнутое множество

Откры́то-за́мкнутое мно́жество, подмножество топологического пространства, одновременно открытое и замкнутое в нём. Открыто-замкнутое множество совпадает со своими замыканием и внутренностью; обратно, если замыкание и внутренность подмножества ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ совпадают (т. е. если ${\displaystyle {\overline {A}}=\mathop {\mathrm {Int} } A}$), то ${\displaystyle A}$ открыто-замкнуто в ${\displaystyle X}$. Множество ${\displaystyle A\subset X}$ открыто-замкнуто в том и только том случае, если его граница пуста (т. е. если ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Fr} } A=\varnothing }$). Семейство открыто-замкнутых подмножеств топологического пространства образует булеву алгебру относительно операций пересечения, объединения и дополнения. В любом топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ множества ${\displaystyle \varnothing }$ и ${\displaystyle X}$ (пустое множество и всё пространство) открыто-замкнуты.