Нигде не плотное множество

Нигде́ не пло́тное мно́жество, подмножество топологического пространства ${\displaystyle X}$, дополнение замыкания которого всюду плотно в ${\displaystyle X}$. Эквивалентное определение: подмножество ${\displaystyle B}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется нигде не плотным в ${\displaystyle X}$, если ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Int} } {\overline {B}}=\varnothing }$, т. е. внутренность замыкания множества ${\displaystyle B}$ пуста. Множество ${\displaystyle B}$ нигде не плотно в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда любое непустое открытое множество в ${\displaystyle X}$ содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с множеством ${\displaystyle B}$. Множество натуральных чисел, множество ${\displaystyle \left\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n=1,2,...\right\}}$, канторово совершенное множество представляют собой примеры замкнутых нигде не плотных подмножеств вещественной прямой.

Замыкание нигде не плотного в ${\displaystyle X}$ множества нигде не плотно в ${\displaystyle X}$; любое подмножество нигде не плотного множества в ${\displaystyle X}$ нигде не плотно в ${\displaystyle X}$; объединение конечного семейства нигде не плотных множеств в ${\displaystyle X}$ нигде не плотно в ${\displaystyle X}$. Граница ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Fr} } U}$ любого открытого множества ${\displaystyle U\subset \ X}$ является замкнутым нигде не плотным в ${\displaystyle X}$ множеством, и наоборот, любое замкнутое нигде не плотное в ${\displaystyle X}$ множество ${\displaystyle F}$ является границей некоторого открытого множества ${\displaystyle U\subset \ X}$ (а именно границей своего дополнения ${\displaystyle U=X\setminus F}$). Если открытое множество нигде не плотно в ${\displaystyle X}$, то оно пусто.