Пространство Монтеля

Простра́нство Монте́ля, бочечное пространство (в частности, пространство Фреше), в котором каждое замкнутое ограниченное множество компактно. Пространство ${\displaystyle H(G)}$ всех голоморфных функций в области ${\displaystyle G}$ с топологией равномерной сходимости на компактах является пространством Фреше, и в силу теоремы Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций всякая ограниченная последовательность голоморфных функций компактна в ${\displaystyle H(G)}$, так что ${\displaystyle H(G)}$ – пространство Монтеля. Пространство ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )={\mathcal {E}}(\Omega )}$ всех бесконечно дифференцируемых в области ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$ функций, пространство ${\displaystyle D(\Omega )}$ финитных функций, пространство ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$ быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций – также пространства Монтеля в естественных топологиях.

Пространство Монтеля рефлексивно. Сильно сопряжённое пространство к пространству Монтеля является пространством Монтеля, в частности пространства обобщённых функций ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$, ${\displaystyle D^{\prime }(\Omega )}$, ${\displaystyle S^{\prime }(\Omega )}$ – пространства Монтеля. Нормированное пространство является пространством Монтеля в том и только в том случае, когда оно конечномерно.