Бочечное пространство

Бо́чечное простра́нство, локально выпуклое линейное топологическое пространство, обладающее рядом свойств банаховых пространств и пространств Фреше без предположения о метризуемости; это один из наиболее широких классов пространств, в которых справедлива теорема Банаха – Штейнгауза. Бочечные пространства были впервые введены Николя Бурбаки (см. Бурбаки, 1959^[1]).

Множество ${\displaystyle A}$ векторного пространства ${\displaystyle E}$ называется уравновешенным множеством, если ${\displaystyle \alpha x\in A}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$ и ${\displaystyle \alpha }$, для которого ${\displaystyle \mid \alpha \mid \leqslant 1}$. Множество ${\displaystyle A\subset E}$ называется поглощающим множеством, если оно поглощает каждую точку из ${\displaystyle E}$, т. е. если для каждого ${\displaystyle x\in E}$ существует такое ${\displaystyle \alpha >0}$, что ${\displaystyle \alpha x\in A}$.

Бочкой в линейном топологическом пространстве называют замкнутое, уравновешенное поглощающее выпуклое множество. Бочечным пространством называют линейное топологическое пространство, наделённое локально выпуклой топологией, в которой всякая бочка является окрестностью нуля. Пространства Фреше и, в частности, банаховы пространства служат примерами бочечных пространств. Важный класс бочечных пространств, наделённых особенно замечательными свойствами, составляют пространства Монтеля.

Свойства бочечного пространства. Факторпространство, прямая сумма и индуктивный предел бочечных пространств являются бочечными пространствами. Всякое поточечно ограниченное множество линейных непрерывных изображений бочечного пространства в локально выпуклое линейное топологическое пространство равностепенно непрерывно. В пространстве, сопряжённом к бочечному пространству, ограниченное множество в слабой топологии будет ограниченным в сильной топологии и компактным в слабой топологии. Замкнутая выпуклая оболочка компактного множества, лежащего в пространстве, сопряжённом к бочечному пространству, компактна.