Пространство Фреше

Простра́нство Фре́ше, полное метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство. Банаховы пространства доставляют примеры пространства Фреше, однако многие важные функциональные пространства являются пространством Фреше, не являясь вместе с тем банаховыми. K числу таковых относятся: пространство Шварца ${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любого многочлена, с топологией, задаваемой системой полунорм

${\displaystyle p_{\alpha \beta }(x(\cdot ))=\sup _{t\in \mathbb {R} ^{n}}\left|t_{1}^{\beta _{1}}\ldots t_{n}^{\beta _{n}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}x\left(t_{1},\ldots ,t_{n}\right)}{\partial t_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial t_{n}^{\alpha _{n}}}}\right|,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ – целочисленные неотрицательные векторы; пространство ${\displaystyle H(D)}$ всех голоморфных функций на некотором открытом подмножестве ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах ${\displaystyle D}$ и т. п.

Замкнутое подпространство пространства Фреше является пространством Фреше; факторпространство пространства Фреше по замкнутому подпространству является также пространством Фреше; пространство Фреше является бочечным пространством, и потому для отображений из пространства Фреше в локально выпуклые пространства оказывается верной теорема Банаха – Штейнгауза. Если отделимое локально выпуклое пространство является образом пространства Фреше при открытом отображении, то оно само является пространством Фреше. Взаимно однозначное непрерывное линейное отображение пространства Фреше на пространстве Фреше есть изоморфизм (аналог теоремы Банаха).

Названо в честь М. Р. Фреше.